Обладает ли декартово произведение свойством дистрибутивности относительно симметрической разности?

Question

[HitGirl]

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, справедливо ли следующие утверждение:
A x (B Δ С) = (A x B) Δ (A x C)

Comments

[longclaps]

В каждой избушке свои погремушки, так что сперва подскажи, что у вас треугольник обозначает?

[HitGirl]

симметрическую разность

Answer 1

[Иван Мельников]

а) Допустим, что (x, y) ∈ A x (B Δ С). Тогда x ∈ A, а y ∈ B Δ С.
Пусть y ∈ B \ C. Тогда (x, y) ∈ (A x B) \ (A x C).
Пусть y ∈ C \ B. Тогда (x, y) ∈ (A x C) \ (A x B).
Следовательно, (x, y) ∈ (A x B) Δ (A x C).
A x (B Δ С) ⊂ (A x B) Δ (A x C)
б) Допустим, что (x, y) ∈ (A x B) Δ (A x C). Тогда x ∈ A, а y ∈ B \ C, либо y ∈ B \ C.
Следовательно y ∈ B Δ С, а (x, y) ∈ A x (B Δ С).
(A x B) Δ (A x C) ⊂ A x (B Δ С)
в) A x (B Δ С) ⊂ (A x B) Δ (A x C) и (A x B) Δ (A x C) ⊂ A x (B Δ С) ⇒ A x (B Δ С) = (A x B) Δ (A x C) (по определению равенства).

Comments

[Николай Чуприк]

Не ленивый, однако.

Answer 2

[Николай Чуприк]

Очевидно, что да.