Как вынести множитель из под корня для множества комплексных чисел?
Интересует следующий момент. Есть два комплексных числа a и b. Могу ли я записать, что sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b) ?
Для операций над действительными числами такая запись неверна - требуется взятие модуля. Для комплексных же числе применение модуля вроде как неправильно.
Но при этом 1 = sqrt( (-1)*(-1)) =?= sqrt( -1) * sqrt(-1) = i * i = -1
Если берем модуль 1 = sqrt( (-1)*(-1)) = sqrt( |-1|) * sqrt(|-1|) = 1, но тогда:
i = sqrt(-1) = sqrt( (-1) * 1) = sqrt( |-1|) * sqrt(|1|) = 1
Для комплексных чисел квадратный корень (степень 1/2) неоднозначная функция, так как аргумент (угол) тоже неоднозначен. Напр., для -1 есть угол pi, тогда (-1)^(1/2) будет иметь угол pi/2, но это также угол -pi, тогда квадратный корень даст угол -pi/2.
Для тригонометрической формы записи комплексного числа, да это достаточно очевидно.
А как это можно показать для алгебраической?
Хотя да, у нас корень из -1 будет i либо -i.
Но, всё равно не снимает вопроса,
На самом деле нужно выбрать диапазон (-pi, pi] либо [0, 2*pi). В любом случае точка -1 будет иметь положительный угол. А формула очень простая: (a*b) ^(1/2) = a^(1/2) * b^(1/2). Извлекается корень так: модуль результата это кв. корень из модуля исходного числа, угол результата равен половине исходного.
Извлекается корень так: модуль результата это кв. корень из модуля исходного числа, угол результата равен половине исходного.
Я же говорил, для тригонометрического представления это достаточно очевидно.
А для алгебраического, нет
a = x+iy
b = z+iw
Нету углов нету диапазонов, и при этом x,y,z,w вполне себе конкретные рациональные числа, поэтому неопределенность выглядит странно.
когда появляется аргумент и соответственно угол, это уже тригонометрия.
Алгебраическое представление это всё-таки a+ib, ну или можно каноническим назвать.
PS: Забавно, что я ответ нашел в википедии
