Как программно смоделировать распространение волнового пакета?

Question

[TimeCoder]

Прошу подсказки в следующей задаче.
Мне необходимо математически описать распространение волнового пакета, т.е. того самого "нечто", что объединяет взгляд на материю как на волну, и как на частицу. Понятно, что даже на википедии есть уравнения квантовой механики - мне нужна максимально простая модель, чтобы без особых ухищрений ее можно было запрограммировать. То есть нужна минимально достаточная формула, которая хоть сколько-нибудь адекватно описывает процесс движения устойчивой волны в пространстве. Возможно, это будет уравнение обычной волны (через cos), не уверен..

Итак, на вход подается:
- частота волны
- ее пространственное распределение (функция плотности от положения в пространстве)
- энергия волны
- вектор скорости волны

На выходе:
мы видим, как волна двигается в пространстве (вдоль оси Х).

В идеале мы можем менять условия среды (плотность, например) и видеть как меняется скорость волны.

Answer 1

[eugenero]

Значит, имеем дело с электромагнитными волнами в искривлённом пространстве-времени. Ок. Решение действительно представляется суммой косинусов, но в качестве аргумента будет интеграл от приращения фазы волны вдоль направления её распространения, которое есть геодезическая кривая. Короче, решение этой задачи известно, но объяснить его "на пальцах" так, чтобы ты мог его сразу замоделировать, не погружаясь в ковариантное интегрирование, я не могу.

Впрочем, если хочешь поиграться с этой задачей "для себя", задавай гармонику в том же виде, как я писал выше, только фазовую скорость бери константой, а волновое число домножай на
1 - (1/x_0 - 1/x) r_g/2 ,
где x_0 - координата, где волна берёт начало; r_g - грав. радиус массивного тела, причём x_0 > r_g. Волна распространяется в сторону увеличения x. Видно, что волновое число уменьшается по мере распространения волны. Значит, длина волны растёт, а частота уменьшается. Это гравитационное красное смещение.

Сумма косинусов, потому что: (а) волновое уравнение линейно, (б) фотоны не взаимодействуют друг с другом. Последнее справедливо в вакууме для фотонов низких энергий, когда мы не учитываем рождение частиц, которые выбиваются летящим фотоном прямо из ниоткуда.

Answer 2

[Евгений]

Как всегда для начала надо выбрать приемлимую мат модель.

Comments

[TimeCoder]

Да) Вопрос по сути к этому и сводится: какая мат. модель здесь будет приемлема)

Answer 3

[eugenero]

Правильно заметил Nc_soft, нужна модель. Что ты называешь волной? Это решение волнового уравнения или это распространяющееся возмущение в какой-то нелинейной системе? Если тебе нежно сделать что-то, что выглядит как волна, не подразумевая какой-то конкретной физики, то, может быть, тебе подойдёт представление о волне как о сумме косинусов с различными начальными фазами и фазовыми скоростями:
f(t,x) = sum_n A_n cos[(x - c_n t) k_n + phi_n]
Здесь записана сумма гармоник, нумерованных индексом n;
A_n - амплитуда гармоники;
c_n - фазовая скорость, т.е. скорость, с которой эта гармоника движется как целое;
k_n - волновое число данной гармоники, оно определяет длину волны как lambda_n = 2*pi/k_n;
phi_n - начальная фаза, смещение графика этой гармоники по оси x в момент t=0.

Если фазовая скорость разная для разных гармоник, то говорят, что волны в такой системе обладают дисперсией, тогда волновой пакет будет расплываться со временем. В противном случае представление волны, приведённое выше, можно свести к виду
f(t,x) = g(x - c t) ,
где g(x) - профиль волны в начальный момент времени.

Подобной моделью можно описать довольно большой пласт физики.

Comments

[TimeCoder]

Я хочу смоделировать поведение частиц, двигающихся в области измененного течения времени. Допустим у нас есть источник света, и он помещается в область, где время замедлено в 2 раза. Что мы увидим? Если рассматривать ситуацию с позиции волны - вместо зеленого света увидим красный, т.к. частота волн уменьшилась в 2 раза. Если с позиции частиц - увидим зеленый, но тусклый, т.к. количество частиц, образуемых в единицу времени стало в 2 раза меньше. А в реальности оба ответа ошибочны. Нужно смотреть с единой позиции на этот процесс, поэтому мне и нужна мат. модель распространения волнового пакета, чтобы смоделировать процесс.

Answer 4

[eugenero]

Нет такого понятия "зелёная частица". Если вы под этим термином имеете в виду какие-то макроскопические тела (допустим, малой массы), которые вылетают как из пушки, то: (а) их движение будет описываться уравнениями ОТО для свободной частицы; (б) всё, что излучают такие частицы, будет испытывать как доплеровское, так и гравитационное смещение.

Если вы подразумеваете, что для частиц существенны квантовые свойства и частицы не взаимодействуют между собой, то каждую частицу представляем таки в виде волны (привет, де Бройль), которая испытывает грав. смещение.

В общем случае, когда частицы взаимодействуют, пишем ур-е Шрёдингера в искривлённой метрике. Излучение, которое образуется в такой системе, будет подвержено тем же преобразованиям энергии-импульса, известным как эффект Доплера и грав. смещение.

Comments

[eugenero]

На самом деле, не Шрёдингера, а Дирака.

[TimeCoder]

Скорее второе, т.е. летят фотоны, надо представить их в виде волн (в понятии квантовой механики). Какое уравнение здесь подходит? Просто сумма косинусов для каждой частицы?