@heartdevil
плыву как воздушный шарик

Доказывают ли изначально аксиомы, чтобы потом принимать их на веру?

В википедии прочитал, что

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами[2].


Вот появилась у Евклида идея, он потестил ее, смотрит, всегда сходится, и потом заявляет, что это Аксиома? А как же доказательство?

Извиняюсь, за глупые вопросы, но, все же интересно стало, как это так получается.
  • Вопрос задан
  • 2351 просмотр
Пригласить эксперта
Ответы на вопрос 5
ThePyzhov
@ThePyzhov
iOS Ninja
Аксиома - это то, на чем строится дальнейшая теория. Аксиома потому и аксиома, что берется без доказательства.
Евклид сказал: параллельные прямые не пересекаются. И дальше строит на это свою геометрию.
Лобачевский (если не ошибаюсь на счет фамилии) сказал что параллельные прямые пересекаются и строил на этом уже свою геометрию.

Т.е. аксиома - это как фундамент для чего-то.
Ответ написан
tsarevfs
@tsarevfs
C++ developer
Нет, все именно так, как написано в вики.
Более того может быть несколько различных наборов аксиом (см. геометрия Лобачевского), которые приводят к разным результатам. Но они все правильные и подходят для разных случаев.

Ну, и дальше опытным путем выясняют, что аксиомы, например, арифметики неплохо соответствует тому что происходит с предметами в реальном мире.
Ответ написан
@Mercury13
Программист на «си с крестами» и не только
Аксиомы доказать невозможно. Но можно сделать одну классную вещь. А именно — построить модель теории. Другими словами: найти в соседней теории, которой вы «доверяете» (например, теории действительных чисел или евклидовой геометрии) такие «точки» и «прямые», чтобы они отвечали всем аксиомам. И эти аксиомы нужно доказывать, чтобы показать, что, например, R² с «точками» (x,y) и «прямыми» ax+by+c=0 — действительно модель евклидовой геометрии.

Да, и математики часто, но некорректно говорят: «Векторное пространство — это совокупность из основного множества X, числового поля K, операций x+y и x·k такая, что отвечает аксиомам…» Вообще-то, требованиям, а не аксиомам, и эти «аксиомы» нужно доказывать, чтобы доказать, что, например, R² — векторное пространство над полем R.

Да, а что же Евклид? А Евклид, вероятно, сам не догадывался, какую классную штуку он придумал. К тому же исчерпывающую аксиоматику евклидовой геометрии придумали ≈1900. Страшна, как чёрт, шесть базовых понятий… Но это зачастую и не требуется, чтобы решать задачи — надо как-то определить объект изучения и начать доказывать теорему за теоремой. Большинство из нас, даже выпускники вуза, не знают ни теорию действительного числа, ни аксиоматику Пеано для арифметики, ни аксиоматику для теории множеств…
Ответ написан
fornit1917
@fornit1917
Нет. Чтобы что-то доказать - нужно всегда основываться на чем-то. Либо на других доказанных теоремах, либо, в конце-концов - на аксиомах.
Цитата из вики:
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные.
Ответ написан
@pestilent
Если брать чистую математику, то ни то, ни другое. Аксиомы не доказываются и не принимаются на веру. Они просто используются для построения теории. Для этого в них не нужно верить, как не нужно «верить» в правила шахмат, чтобы в них играть.
Если смотреть с практической, прикладной точки зрения, то аксиомы позволяют определить область применимости теории. Если мы описываем какую-то часть реальности в терминах теории и при этом аксиомы этой теории соответствуют верным утверждениям о реальности, то эта теория годится в данном конкретном случае. Вот тут уже применимость аксиом просто так нельзя принять, она должна либо доказываться из уже принятой ранее теории, либо подтверждаться эмпирически.
Ответ написан
Ваш ответ на вопрос

Войдите, чтобы написать ответ

Войти через центр авторизации
Похожие вопросы