Аксиомы доказать невозможно. Но можно сделать одну классную вещь. А именно — построить модель теории. Другими словами: найти в соседней теории, которой вы «доверяете» (например, теории действительных чисел или евклидовой геометрии) такие «точки» и «прямые», чтобы они отвечали всем аксиомам. И эти аксиомы нужно доказывать, чтобы показать, что, например, R² с «точками» (x,y) и «прямыми» ax+by+c=0 — действительно модель евклидовой геометрии.
Да, и математики часто, но некорректно говорят: «Векторное пространство — это совокупность из основного множества X, числового поля K, операций x+y и x·k такая, что отвечает аксиомам…» Вообще-то, требованиям, а не аксиомам, и эти «аксиомы» нужно доказывать, чтобы доказать, что, например, R² — векторное пространство над полем R.
Да, а что же Евклид? А Евклид, вероятно, сам не догадывался, какую классную штуку он придумал. К тому же исчерпывающую аксиоматику евклидовой геометрии придумали ≈1900. Страшна, как чёрт, шесть базовых понятий… Но это зачастую и не требуется, чтобы решать задачи — надо как-то определить объект изучения и начать доказывать теорему за теоремой. Большинство из нас, даже выпускники вуза, не знают ни теорию действительного числа, ни аксиоматику Пеано для арифметики, ни аксиоматику для теории множеств…
