Какую формулу можно подобрать?

Question

[Nwton]

Необходимо сделать генератор случайных чисел. При генерации, может выпасть целое/нецелое число от 0 до 100. Но чаще всего должно выпадать число в промежутке 0-5, причем таким образом, что бы среднее арифметическое всех чисел в итоге получилось 1.

Допустим есть обычный генератор 0-100. Как в итоге преобразовать полученное случайное число в подходящее под условия? Экспериментировал с корнем и log, но не вышло.

Answer 1

[Николай Чуприк]

Требуется подобрать функцию отображения, интеграл которой на отрезке [0,1] равен интегралу на отрезке [1,100]. Пусть это будет монотонно убывающая функция. Давайте возьмём 1/(x+a), где a — положительный параметр.

Подберём значение параметра, чтобы выполнялось указанное выше условия нормировки интегралов.

Неопределённый интеграл равен ln(x+a)-C.

Определённый интеграл [0,1] = ln(a+1) - ln a = ln ( (a+1) / a)
Определённый интеграл [1,100] = ln(a+100) - ln (a+1) = ln ( (a+100) / (a+1))

Приравниваем их, убрав логарифмы, получаем уравнение (а+1)(а+1) = a(a+100).
Решение: a=1/98

Искомое отображение для генератора случайных чисел f(x) = 98/(98x+1)

__________________________

UPD: Чёрт. Это будет не среднеарифметическое равно 1, а медиана. Сейчас допилиим задачу.

__________________________

UPD2: Чтобы было мат.ожидание равно 1, надо приравнивать друг другу не просто интегралы, а интегралы квадрата функции отображения.

Чтобы не пересчитывать, можно сказать, что полученная выше 98/(98x+1) — это не само отображение, а его квадрат. Т.е. ответ f(x) = sqrt ( 98/(98x+1) )

Может и ошибся, но лень думать. Всё, спать!

Comments

[Nwton]

Взял последнюю формулу. Но после 100 000 попыток генерации, при x ∈ 0-100, мат ожидание вышло 0.28 и, конечно же, ряд не вышел за приделы 1

Может я что-то не допонял, но вот пример: https://jsfiddle.net/06mmqg5v/4
Для наглядности: https://vk.cc/6MyDec

[Николай Чуприк]

Так вы, оказывается, округляете числа до целого! Это даёт дискретное распределение, а я сделал расчеты, исходя из непрерывного. В итоге фактически из функции отображения получается не плавная гипербола, а ступенчатая. Причём самая важная её часть от 0 до 1 превращается в одну ступеньку, а нам там как раз нужна "жизнь".

Уберите в рандоме floor и +1 в множителей, давайте посмотрим, что получится.

[Николай Чуприк]

Всё не так. Ошибку понял, но сейчас в метро с телефоном. Позже.

[Nwton]

Николай Чуприк: числа округляются только при выводе. Функция rand генерирует случайное целое от min до max и является лишь основой. Преобразование происходит в фк. gen(). И если до преобразования нужны 0-100 включая не целые, то можно сделать так: rand(0, 100*10000)/10000: https://jsfiddle.net/06mmqg5v/6

[Николай Чуприк]

Одним параметром не отделаешься. Итак, требования к распределению:

f(0) = 0
f(100) = 100
M = integral ( dx • f^2(x) ) = 1 — математическое ожидание.

Три требования, значит надо три параметра. Главное выбрать вид функции, с которой решение этой системы уравнений будет попроще.

I.
Можно взять
f(x) = 1 / (a-kx) - b

Но там непростые вычисления.

II.
Может вам взять "дискретную" функцию с изломом. Не так красиво, но вашу задачу можно решить. Например:

f(x) = kx, при 0 < x < a
f(x) = qx-b, при a < x < 100

Плюс условие непрерывности:
ka = qa-b

В этом варианте значительно проще считать. но плотность распределения имеет скачек, что неэстетично.

[Николай Чуприк]

Одно из решений для варианта II:

a = 99
k = 1/99
q = 99
b = 9800

[Николай Чуприк]

Вариант I использовать не стоит. Интеграл я взял, но дальше упирается в трансцендентное уравнение типа ln x = x^2.

Answer 2

[Максим Гришин]

С разбегу подойдет логнормальное распределение с параметрами (-0.5, 1). Как генерировать - преобразованием Бокса-Мюллера из двух равномерно распределенных на (0,1) случайных величин, потом взять экспоненту.