Решение задачи асболютно упругого соударения двух шаров?

Question

[Денис Савицкий]

Есть ли решение задачи асболютно упругого соударения двух шаров, имеющих начальное положение, вектор скорости, радиус в системе линейных уравнений стандартными функциями (ode45,..)?

Или просто система линейных уравнений?

Может, есть анимация этого в MatLab?

Очень нужно…

Comments

[Денис Савицкий]

Я много всего обыскал, но ничего подходящего не нашёл, только это: window.edu.ru/resource/091/24091/files/main.pdf, но не смог заставить работать и реализация немного не та, нужна через стандартные функции решения дифференциальных уравнений (ode45,..).

[OCTAGRAM]

Не понял, каким образом возможен топик, если абсолютно упругое соударение недифференцируемо?

Answer 1

[hacklex]

Думаю, если автор ещё не видел вот этой статьи, с ней обязательно стоит ознакомиться. В своё время писал код, опираясь именно на неё.
Разумеется, никаких дифференциальных уравнений.

Плюс, возможно это не сразу становится очевидным: для выполнения действительно точного расчёта порядок действий должен быть сложнее, чем просто выполнить расчёт сразу после обнаружения наложения двух кругов друг на друга, в связи с необходимостью дробить шаг симуляции ∆t.

В статье есть, помимо прочего, расчёт расстояния пробега до столкновения, поэтому, не заостряя внимание на самих формулах, приведу общий план итерации симулятора (для реализации описанного ниже плана потребуется позаимствовать процедуры определения дистанции свободного пробега до столкновения и вычисления векторов скоростей после соударения):

1. просчитать предварительное новое положение каждого из шаров (прибавить ∆t *V_i к текущим координатам каждого i-го шара), и в случае наложения «предсказанных» шариков вычислить для каждого пробег ДО касания (я буду использовать значение доли λ_ij от ∆t (шага симуляции);
   доля шага симуляции (лямбда) — это значение от 0 (почти столкнулись на предыдущем шаге моделирования) до 1 (ещё чуть-чуть, и столкновения на этом шаге бы не было совсем));
    
2. отсортировать пары шаров по полученным значениям долей, чтобы рассматривать сначала те столкновения, которые случились раньше;
    
3. для очередной пары столкнувшихся рассчитать
    
   (а) положения в момент касания (t+∆t*λ_ij),
    
   (б) векторы скоростей (см. статью по ссылке выше),
    
   (в) положения на момент t+∆t (к положениям в момент касания добавить значение вектора скорости после соударения, умноженное на ∆t*(1−λ_ij), корректируя таким образом положение пары на момент t+∆t с учётом столкновения;
    
4. повторять цикл для всех пар шаров, заново определяя наложения после каждого уточнения и начиная расчёт уточнений сначала (для коллизий с самым маленьким значением λ)
    
5. если больше коллизий среди набора предсказанных положений для t+∆t нет, значит, кхм, we could call it a step.

Разумеется, это всё ещё далеко не Virtual pool, но визуально, особенно для моделей с грубым шагом симуляции, это обеспечит ощутимо бóльшую точность. Разумеется, такие заморочки нужны только если таковая нужна. Если нет — из статьи выше достаточно позаимствовать формулы для расчёта углов отскока.

… Помимо этого, при моделировании поведения абсолютно упругих шаров есть тонкий момент, связанный с точным расчётом отскока шара от любого острого угла. Если этот вопрос вдруг также интересен (лично у меня этот вопрос возник непосредственно после решения вопроса с соударениями шаров), могу показать, как считать отскок и для этого случая.

Comments

[Денис Савицкий]

спасибо за ответ!

Answer 2

[Денис Савицкий]

Пока такое решение, но его нужно переделывать…

Код

clc; clear all; close all;

% Start points
x1 = 0; y1 = 0; r1 = 2;
x2 = 6; y2 = 1; r2 = 2;

% Absolute Velocity
v1 = 6;
v2 = 3;

% Velocity vectors
L1 = rand(1,2);
L2 = rand(1,2);

% Time
t = 0:0.02:10;

% Vectors with coordinates by steps (time)
vec1(1,:) = x1 + v1*L1(1)*t; vec1(2,:) = y1 + v1*L1(2)*t;
vec2(1,:) = x2 + v2*L2(1)*t; vec2(2,:) = y2 + v2*L2(2)*t;

% Draw circles
ang = 0:0.01:2*pi;
xp1 = r1*cos(ang); yp1 = r1*sin(ang);
xp2 = r2*cos(ang); yp2 = r2*sin(ang);

for i=1:length(vec1)
    plot(vec1(1,i)+xp1,vec1(2,i)+yp1);
    hold on
    plot(vec2(1,i)+xp2,vec2(2,i)+yp2);
    hold off
    axis([min(min(vec1(1,:), vec2(1,:))), max(max(vec1(1,:), vec2(1,:))), min(min(vec1(2,:), vec2(2,:))), max(max(vec1(2,:), vec2(2,:)))])
    pause(0.02) % delay
    
    if sqrt((vec1(1,i)-vec2(1,i)).^2 + (vec1(2,i)-vec2(2,i)).^2) < r1+r2
        
        disp('COLLAPSE!')
        
        L1 = rot90(L1,1);
        L2 = rot90(L2,1);
        tt = 0:0.02:10;
        
        newvec1(1,:) = vec1(1,i) + v1*L1(1)*tt;
        newvec1(2,:) = vec1(2,i) + v1*L1(2)*tt;
        newvec2(1,:) = vec2(1,i) + v2*L2(1)*tt;
        newvec2(2,:) = vec2(2,i) + v2*L2(2)*tt;
        
        for j=i:length(vec1)
            plot(newvec1(1,j-i+1)+xp1,newvec1(2,j-i+1)+yp1);
            hold on;
            
            plot(newvec2(1,j-i+1)+xp2,newvec2(2,j-i+1)+yp2);
            hold off;
            
            axis([min(min(vec1(1,:), vec2(1,:))), max(max(vec1(1,:), vec2(1,:))), min(min(vec1(2,:), vec2(2,:))), max(max(vec1(2,:), vec2(2,:)))])
            pause(0.1) % delay
        end
        
        return
        
    end
end

Comments

[Nix102]

Здравствуйте, у вас получилось решить эту задачу?

[Денис Савицкий]

Nix102, да, код в комментарии

[Nix102]

Денис Савицкий, в каком комментарии? И решение у вас через системы дифференциальных уравнений?

Answer 3

[Prosolver]

Я использую такое решение для эмуляции движения и соударения пятнадцати шаров (Object Pascal):

for i:=1 to 15 do   // просчитываем соударения шаров
for j:=i+1 to 16 do begin
 dist:=sqrt(sqr(balls[i].x-balls[j].x)+sqr(balls[i].y-balls[j].y)); //расстояние между центрами шаров
 if dist<diametr then begin //если расстояние меньше диаметра, значит есть факт соударения
  a:=balls[i].x-balls[j].x; //вспомогательные переменные типа extended
  b:=balls[i].y-balls[j].y;
  p1:=a*b/sqr(dist);
  p2:=sqr(a/dist);
  p3:=sqr(b/dist);
  d1:=balls[i].dy*p1+balls[i].dx*p2-balls[j].dy*p1-balls[j].dx*p2;
  d2:=balls[i].dx*p1+balls[i].dy*p3-balls[j].dx*p1-balls[j].dy*p3;
  balls[i].dx:=balls[i].dx-d1; //меняем значение приращения координаты шаров при движении
  balls[i].dy:=balls[i].dy-d2;
  balls[j].dx:=balls[j].dx+d1;
  balls[j].dy:=balls[j].dy+d2;

  p3:=(diametr-dist)/2; //при соударении шары всегда "проникают" друг в друга, поэтому раздвигаем их
  p1:=p3*(a/dist);
  p2:=p3*(b/dist);
  balls[i].x:=balls[i].x+p1;
  balls[i].y:=balls[i].y+p2;
  balls[j].x:=balls[j].x-p1;
  balls[j].y:=balls[j].y-p2;
 end;
end;

for i:=1 to 15 do
 balls[i].x:=balls[i].x+balls[i].dx;  //эмулируем движение
 balls[i].y:=balls[i].y+balls[i].dy;
end;

Comments

[Александр]

Спасибо тебе добрый человек. Около месяца искал рабочий код.

[PankovEA]

Спасибо. Код рабочий. Было бы интересно всё же понять что такое a, b, p1, p2 и p3.
Переписал на пайтон. Это рабочий кусок программы, написанной, на основе модуля turtle:

import turtle as t
from random import randint

class Ball(t.Turtle):
    def __init__(self, x=0, y=0, dx=0, dy=0):
        super().__init__()
        self.penup()
        if x or y:
            self.hideturtle()
            self.goto(x,y)
            self.showturtle()
        self.shape('circle')
        self.dx = dx
        self.dy = dy
        self.speed(0)

    def next_step(self):
        'Двигает шар на следующий шаг по dx, dy'
        x, y = self.position()
        if x + self.dx <= -150 or x + self.dx >= 150:
            self.dx = -self.dx
        if y + self.dy <= -150 or y + self.dy >= 150:
            self.dy = -self.dy
        x += self.dx
        y += self.dy
        self.goto(x, y)

class Balls():
    def __init__(self, n):
        # Создание шаров из класса Ball()
        self.list = [Ball(randint(-150,150), randint(-150,150), randint(-5,5), randint(-5,5))
                        for i in range(int(n))]

    def find_collision(self):
        diametr = 20
        # Просмотрим все пары
        for i, ball1 in enumerate(self.list[:-1]):
            for ball2 in self.list[i+1:]:
                x1, y1 = ball1.position()
                x2, y2 = ball2.position()
                dist = ((x1-x2)**2 + (y1-y2)**2)**0.5
                if dist and dist < diametr:
                    a = x1 - x2 # вспомогательные переменные типа extended
                    b = y1 - y2
                    p1 = a*b / dist**2
                    p2 = (a/dist)**2
                    p3 = (b/dist)**2
                    d1 = ball1.dy * p1 + ball1.dx * p2 - ball2.dy * p1 - ball2.dx * p2
                    d2 = ball1.dx * p1 + ball1.dy * p3 - ball2.dx * p1 - ball2.dy * p3
                    ball1.dx -= d1 # меняем значение приращения координаты шаров при движении
                    ball1.dy -= d2
                    ball2.dx += d1
                    ball2.dy += d2
                    #при соударении шары всегда "проникают" друг в друга, поэтому раздвигаем их
                    p3 = (diametr - dist)/2
                    p1 = p3 * (a/dist)
                    p2 = p3 * (b/dist)
                    ball1.goto(x1 + p1, y1 + p1)
                    ball2.goto(x2 - p1, y2 - p1)

balls = Balls(5) # Список шаров

# Основной игровой цикл
while True:
    for ball in balls.list:
        ball.next_step()
    balls.find_collision()

[Prosolver]

PankovEA, логика этого решения состоит в том, что при равномерном движении в плоскости каждый шар имеет однозначное значение приращения своих координат по х и y. При абсолютно упругом соударении двух шаров значения этих приращений должны быть пересчитаны в зависимости от места соударения. При этом та часть значения приращения, которая отнимается по координате x одного шара, добавляется к значению приращения по координате х другого шара. То же самое для координаты y. Шары как бы передают друг другу некий "виртуальный квант" взаимодействия. Это переменные d1 и d2, соответственно. Они ключевые. А переменные a, b, p1, p2 и p3 - это просто промежуточные переменные, которые в расчётах используются несколько раз, поэтому введены исключительно для экономии процессорного времени. Удобнее всего это представить в простейшем случае, когда шар 1 по прямой влетает в неподвижный шар 2. При этом шар 1 полностью останавливается, а шар 2 начинает двигаться. "Квант" от шара 1 полностью перешёл к шару 2. Все случаи столкновения по касательной - это частные случаи.

Answer 4

[Muff]

Для двух шаров все решается точно, без всяких систем дифференциальных уравнений. Вот, например, uc.jinr.ru/mirea/classmex/gl_mex_5.pdf

Comments

[Денис Савицкий]

Спасибо!

Answer 5

[Figurnov]

Формулы для расчёта упругого столкновения частиц приведены практически в любой книжке по теоретической механике. Например, Ландау, Лифшиц «Механика», с. 62-65, или Яблонский, «Курс теоретической механики», т. 2 с. 284. Дифференциальные уравнения не требуются, хватает школьного курса математики