UTP кабель, стандартный, который вы называете "Интернет кабель", может быть длинной до 100 метров.
Он может быть 4-жильный и 8-жильный, 100mb и 1gb соответственно(хотя есть и 2.5gb).
Роутер который вы называете "модем", имеет порт WAN куда приходит "Интернет кабель идет через всю квартиру на модем". Остальные порты это порты коммутатора или свитча как его еще называют.
Для подключения приставки, вам нужно подключить патчкорд(обжатый utp, который интернет кабель), в те самые оставшиеся порты роутера, который не WAN.
Если порты все заняты, вы можете купить коммутатор(switch). Подключить его к роутеру(в свободный порт) и использовать его порты как дополнительный разветвитель. На коммутаторе можно использовать любой порт, у него нет порта WAN. То есть один порт в роутер, другие порты куда угодно. Запрещено только делать "петлю", подключать коммутатор сам в себя. Разумеется для коммутации вам понадобятся патчкорды. Вы можете протянуть кабель UTP сами, а потом попросить мастера вам его обжать, либо купить инструмент для обжатия RJ-45 и сделать самостоятельно. Но вам нужно будет загуглить как делать распиновку по цветам. Сейчас де-факто стандарт T568B.
Вы так же можете обойтись без обжимника, если купите сетевые розетки и с помощью пластиковой карточки задавите провода. Вообще для этого есть специальный инструмент, но на один раз хватит и карточки. Обычно на сетевых розетках уже есть маркировка для распиновки, просто помните, что вам нужно выбирать вариант B.
1 — бело-оранжевый;
2 — оранжевый;
3 — бело-зелёный;
4 — синий;
5 — бело-синий;
6 — зелёный;
7 — бело-коричневый;
8 — коричневый.
По сетевой розетке с обоих концов и для подключения хватит и магазинного патчкорда.