Как тут найти функцию площади?

Question

[asault_ceko]

Надо найти объём тела, которое ограничено поверхностями:

Я использую вот эту формулу:

Но я не понимаю, как мне достать функцию S(z)... Это же окружность... Я пробовал вот такое:

Но что мне даст интегрирование? Это же просто константа. Нет z.
Но geogebra показывает, что такое тело есть:

Помогите, как здесь правильно S(z) вывести?

Answer 1

[MVV]

Типо ето же окружность...

Нет, сечение вашей фигуры плоскостью z=const - это сегмент круга, ограниченный полуокружностью x^2+y^2=9 (y>=0) и хордой y=z. Его площадь от z зависит. Подставляйте формулу для площади этого сегмента (это и будет S(z)) и интегрируйте ее по z от 0 до 3.

Comments

[serega danet]

а мне кажется, что Y=Z -- говорит, что это часть трубы. Если Y больше нуля, то половина трубы. Но труба , похожая на то. как сварщики режут для стыка. На 30 градусах она уже будет R/2 , на 60 гр sqrt(3)/2. На 90гр - R. Получается какой-то параболоид.
И объема здесь я не вижу, вопрос в площади. Но без интегралов никак.
Тут интеграл от -R до R . выразить Y через Х . S=Интеграл(от -R до R) Zdx . Z=Y=sqtr(R^2 - X^2) . Как там степени интегрируются ? Надеюсь, на сокращение
Интересно, что если делать особо грамотно -- от -R до R. То площади получаются 0, как ни крути. Странно.
Считаем . 2* Интеграл от 0 до R.
Ответ: 4/3R^3
Трудно представить, но картинку не обманешь. Это не параболоид. Это ровный эллипс.
В ответе -- площадь. А тут надо объем. Это надо по Y дальше идти.

[hint000]

serega danet, всё правильно написал автор ответа.
Осталось найти площадь сегмента. Можно загуглить "площадь сегмента круга", но мы честно посчитаем. Это площадь сектора минус площадь равнобедренного треугольника. Треугольник элементарно определяется через высоту (здесь =z) и ребро (=R). От треугольника нам требуется площадь (для вычитания её из площади сектора) и угол при вершине в центре круга (для вычисления площади сектора).

[asault_ceko]

Вот так? И почему от 0 до 3?

[Михаил Ливач]

asault_ceko, потому что z меняется от 0 до y, а максимальное значние y == 3

Answer 2

[serega danet]

короче , сеть сделала пример и нас всех за 2 секунды.
https://mathgptpro.com/app/session?u=d7b13082-8d92...
есть вероятность, что правильно.

Comments

[asault_ceko]

она не всегда правильно решает, я использовал ее

Answer 3

[Alexandroppolus]

Это известная задача, которую можно решить без интегрирования. Возьми любое сечение твоей фигуры плоскостью x = const. Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом длиной а и площадью S1 = a*a/2
Если заменить все эти сечения секторами окружности с углом 45 гр и радиусом тоже a (площадью S2 = Пи*a*a/8), то вся фигура превратится в 1/8 часть шара. Ну и понятно, что объём твоей фигуры равен объему 1/8 шара с радиусом 3, умноженному на S1/S2

Comments

[asault_ceko]

Тема интегрирование, так что я думаю, тут надо именно интегрированием. Тем более я делал другой вариант, где бил параболоид, там все прекрасно вишло.