Чем отличается оператор от матрицы в линейной алгебре?

Question

[Sasha_88]

Какая связь оператора, матрицы и линейного преобразования? Оператор - это само преобразование? А его коэффициенты являются матрицей?
Что означают слова:
Обозначим через x = (x1, x2, ..., xn) и y = (y1, y2, ..., ym) столбцы координат векторов x и y.
Тогда векторному равенству
y = Ax
соответствует матричное равенство
y = Ax,
которое является матричной записью преобразования
y1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn,
y2 = a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn,
............................................
ym = am1x1 + am2x2 + ... + amnxn
Почему в одном случае жирным шрифтом написано, в другом обычным? В обоих же случаях векторы и матрица.
Спасибо

Answer 1

[Wataru]

Оператор - вообще любая штука, которая как-то действует на объекты. Она ставит каждому входному элементу некий рузультирующий элемент. Функция, короче. Квадратный корень среди чисел, логарифм там же, поворот объектов на плоскости на 30 градусов по часовой стрелке, отражение относительно прямой - это все операторы.

Линейное преобразование - это конкретный тип операторов, который действует на элементы R^n и характирезуются тем, что они обладают свойством линейности (F(x+y) = F(x)+F(y), F(kx) = kF(x)).

Матрица - это математический объект.
Между матрицами и линейными операторами есть взаимнооднозначное соответствие. Домножение на матрицу - это линейное преобразование. Любому линейному преобразованию можно поставить в соответствие матрицу (посмотрев, как оно преобразует базисные вектора). Поэтому часто можно в литературе встретить, что матрицу называют оператором и наоборот.

Comments

[Sasha_88]

То есть можно сказать, что матрица - это часть преобразования. Коэффициент. Вместе с переменными, с умножением образует преобразование?

[Wataru]

Sasha_88, Да

Answer 2

[Сергей Соловьев]

Чем отличается оператор от матрицы в линейной алгебре?

Матрица - это матрица, вещь
Оператор - это преобразование, действие

Почему в одном случае жирным шрифтом написано, в другом обычным?

Скорее всего, чтобы подчеркнуть/выделить разницу, т.к. в первом случае используются векторы, а во втором - матрицы.
Вообще, подобные вещи лучше с помощью шрифтов для формул писать. Например, tex/latex.

Какая связь оператора, матрицы и линейного преобразования?

Оператор - это преобразование матрицы.
Есть линейный оператор, т.е. линейное преобразование - они синонимы в данном случае.
Этот оператор применяется к матрице.

Примеры нелинейных операторов - например, берешь корень от каждого элемента матрицы. Умножением это не представить.
Примеры линейных операторов - умножение матриц, например, на матрицу поворота

Мне в свое время это помогло разобраться - www.mathprofi.ru/linejnye_preobrazovanija.html