Как доказать, что a³+b³+c³=3?

Question

[Корень]

Посмотрел видео в YouTube "3 as the sum of the 3 cubes - Numberphile" про то, как было найдено число для a³+b³+c³=3.

1. Как математически, не перебором, найти это число?
2. Какой код программы он использовал?

В видео есть код программы, но он похоже не полный, многослойный и искаженный.

Comments

[Rsa97]

a = 1
b = 1
c = 1

[Корень]

Rsa97, Я знаю, что есть разные варианты. Мне интересны не сами ответы, а как математически, не перебором, найти эти числа? Кто-нибудь, хоть когда-нибудь, сможет найти их не перебором?

[Alexandroppolus]

Корень, загляни для начала сюда

то что ты хочешь, называется "семейством решений", и они есть только для чисел справа 1 и 2

[Корень]

Alexandroppolus, Я понял, что вы намекаете. Но на что именно вы намекаете? Для числа 3 не получится ни у кого найти семейство решений?

[Alexandroppolus]

Корень, посмотри, как были добыты семейства решений для 1 и 2, попробуй сделать аналогично. Вдруг получится? Тогда впишешь себя в историю математики.

[Корень]

Alexandroppolus, Попробую, спасибо за совет, хотя у меня наверно не получится.

[Acaunt]

А в чём проблема сделать так:

То есть взять два случайных числа и из них выразить 3 я не могу назвать это перебором, так как 3 мы просто вывели из известных других переменных.

[hint000]

Acaunt,

А в чём проблема

В том, что автор вопроса написал только часть условий задачи, а другую часть (например, что требуется целочисленное решение) подразумевает у себя в голове. С этими товарищами, задающими вопросы на Хабре, телепатия, как говорится, must have.

Answer 1

[Wataru]

Тут нет никаких математических методов найти все, или даже некоторые, решения. Математикой можно только перебор сократить.

Это диафантово уравнение. При чем очень сложное: от трех переменных да еще и кубическое. Только для каких-то самых тривиальных случаев, вроде линейного уравнения, еще есть какие-то алгоритмы прямо получения решения (вроде расширенного алгоритма Эвклида). Для некоторых классов существуют методы порождения всех решений, если вам известно одно, но это одно часто надо еще найти - перебором. Но вот такие уравнения человечество еще решать не научилось.

Comments

[Корень]

Спасибо!!! Ну нет, так нет, что тут поделаешь? А вы не встречали, код этой программы, которая в YouTube на третьей минуте?

[Wataru]

Корень, ссылку-то дайте хотя бы.

[Корень]

Wataru, 3 as the sum of the 3 cubes - Numberphile 3 минута 11 секунд.

[Wataru]

Корень, Можно спроисть код в комментариях. Или емейл nuberphile-у отправить. Может быть, они с вами кодом поделятся. Там что-то не совсем тривиальное, да. И по обрывку кода это не восстановить.

Наверняка код эти исследователи уже давну куда-нибудь на github выложили.

[Корень]

Wataru, Я так и сделал пару дней назад.

[Wataru]

Корень, Плохая идея - пытаться связаться с кем-то из авторов через комментарий на каком-то новостном портале. Журналисты вас просто проигнорируют со 100% вероятностью.

У numberphile хотябы математики работают и коммьюнити какое-то есть. Так что есть шанс, что вам кто-то из зрителей ответит, или сами авторы свяжутся с героями ролика.

А вообще, самый лучший вариант - найти тех ребят, кто этот код написал напрямую. Ищите Andrew Booker at Bristol University, UK, and Andrew Sutherland at the Massachusetts Institute of Technology. Наверняка, найдете саму статью, там всегда имейлы авторов указывают. Туда им и пишите. Не забудьте письмо повежливее соствить. "Hello! Could you please share with me the code you used to find the solution to a^3+b^3+c^3=3?"

Вот статья: https://www.pnas.org/doi/abs/10.1073/pnas.2022377118 похоже это именно оно. Там вверху есть емейлы авторов. Пишите им.

[Wataru]

Корень, Более-того, там на странице даже ссылка на какой-то код есть: https://github.com/AndrewVSutherland/SumsOfThreeCubes

[Корень]

Wataru, Это не новостной портал, с помощью этого сайта и осуществлялся перебор.

[Корень]

Wataru, Не вероятно, как вы всё это нашли? Я тоже на GitHub искал. Какой код лучше с GitHub и тот, что рекомендовал mayton2019?

[Wataru]

Корень, Нашел просто: скопировал имена из статьи вашей и вставил в scholar.google.com. Первая же ссылка - научная публикация. Я ее вам привел. Там же есть ссылка на гитхаб.

Этот код, конечно, лучще того от mayton2019. Потому что, во-первых, он специализированный под задачу, а не какой-то общий метод. Этим методом аж науку вперед продвинули и на numberphile попали. Во-вторых, генетические алгоритмы вообще диафантовы уравнения плохо решают. Там в примере же тривиальный случай - линейные уравнения. Для них все решения можно элементарно описать и очень быстро найти.

[Корень]

Wataru, Библиотека SymPy предназначена для решений Диофантовых уравнений, да и Василий Дёмин показал как считать от ноля, не только в плюс, но и в минус, я наверно несколько дней помучаюсь, потом ещё раз спрошу какой код лучше на GitHub или с SymPy?

for(int a = 0; ; a++) {
  for(int b = 0; ; b++) {
    // вычисления для a и b
    // вычисления для -a и b
   // вычисления для a и -b
  //
  }
}

[Wataru]

Корень, опять же, специализированный код под задачу будет эффективнее. Вот эти 2 ваших цикла будут триллион лет искать решение из видео.

Эта задача не была решена раньше, т.ч. вряд ли в sympy ее решение закрдировали. Может там тоже есть какие-то общие математические трюки.

[Корень]

Спасибо вам огромное!!! Избавили меня от мучений.

Answer 2

[0x0f80]

Точного метода без перебора нет

Answer 3

[mayton2019]

Похоже на диофантово уравнение. Не по математическому виду а скорее по подходу.
Можно попробовать генетические алгоритмы. Хромосома (a,b,c).

Comments

[Корень]

Не останавливайтесь, пожалуйста, на этой мысли - продолжайте.

[mayton2019]

Корень, вот посмотри как тут пишут

https://algolist.manual.ru/ai/ga/dioph.php

[Корень]

mayton2019, Я на это видео вышел через - Почему сумма трёх кубов – это такая сложная матема...

[Корень]

mayton2019, Вау!!! Даже программа есть.

[mayton2019]

Корень, нуну.

Только вопросы по генетике ты уж задай плиз новым вопросом.

[Корень]

mayton2019, Мне генетикой интересоваться религия запрещает. А какая программа лучше, ту которую вы показали, или та, что на видео?

[mayton2019]

Корень, что за чепуху ты говоришь?

Ты пришел сюда решать уравнение - так решай. Любые переборные методы - это
частный случай генетики. Поэтому или занимайся эффективными алгоритмами
или просто играйся.

Но если ты играешся то мы тебе зачем?

[Корень]

mayton2019, Мне снова нравится ход ваших мыслей, мне тоже хочется пользоваться не перебором. Подскажите, как делается "семейство решений" по образцу для тройки?

[mayton2019]

Корень, Wataru уже тебе подсказал. Ты уже выбор сделал. Что еще тут добавить.

Задавай следующий вопрос в qna отдельно.

[Корень]

mayton2019, Есть, что добавить. Я жду, когда придет кто-то из великих и скажет, mayton2019 - прав, перебором лучше не пользоваться, правильно делать так...

[mayton2019]

Пора закругляться.

[Корень]

mayton2019, Как скажете. Сейчас поставлю лучшим ответом Wataru, но это будет не справедливо, у меня знаний меньше, чем у участников, и я не имею право делать такой выбор.