У меня есть три определения, бесконечно большой и малой последовательности, а так же предела числовой последовательности. Во всех них существует некая N, суть которой я не могу понять. Что это(понятно, что это какое-то натуральное число)? Почему n и N входят в какие-то отношения?
(Далее будут определения, что бы исключить недопонимания и различия в известных мне и у вас определениях)
Последовательность xₙ называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A существует N, что для всех элементов числовой последовательности n>N, и выполняется неравенство: |xₙ|>A.
Последовательность ⍺ₙ называется бесконечно малой, если для любого положительного числа Ɛ (Ɛ>0) существует номер N, такой, что при n>N выполняется неравенство: |⍺ₙ|<Ɛ.
Число a называется пределом числовой последовательности {xₙ}, если для любого Ɛ>0 существует N такой, что для всех элементов n, числовой последовательности, больше N, выполняется неравенство: |xₙ-a|<Ɛ.
Для того, чтобы пользоваться этими формулировками для доказательства. Например, нам дана последовательность
a_n = 1/n
Докажем, что она бесконечно малая. По определению, надо для любого e > 0 найти такое N, что при всех n > N все a_n < e
В качестве N можем взять ceil ( 1 / e ) . ceil - это так называемый "потолок". Это наименьшее натуральное число, которое больше аргумента ceil. В нашем случае, больше 1/e
Проверяем. Пусть e=100. N = ceil(1/100) = 1. все элементы нашей последовательности, начиная со второго, меньше e=100, так что определение работает
e=1/10 N = ceil(10) = 10
1/10 > 1/11
1/10 > 1/12
...
тоже работает.
Доказательстово того, это работает для любого e оставляю на ваше усмотрение.
То есть, для доказательства того, что последовательность бесконечно малая, вам надо найти способ вычислить N из e, при котором выполняется формулировка определения, и доказать, что он работает для любого e > 0
Средний
