ajax - концепция, что ты можешь загружать данные и обновлять разметку, вместо того чтобы загружать новую страницу.
xhr, а конкретнее XMLHTTPRequest - Штука, с помощью которой изначально это можно было провернуть
$.ajax из jQuery - обёртка над xhr для удобства использования.
fetch - новое API, которое должно заменять xhr. Прекрасно работает во всех актуальных браузерах, но не в ноде.
а soap и rest?
Это уже на стороне сервера.
SOAP никаким боком к ajax не относится, тк работает с XML.
Это вполне стандартизированный протокол - подробнее можешь почитать, если загуглишь.
Rest - набор рекомендаций, как следует делать API
Или вопрос некорректен?
Да, тк сравнивается тёплое с мягким - функции из Javascript, концепция, и серверные технологии.
Но вообще да - SOAP тоже работает поверх http.