Возможно ли полностью покрыть поле паркетом без пересечений?

Возможно ли полностью покрыть поле паркетом без пересечений?
  • Вопрос задан
  • 245 просмотров
Решения вопроса 1
wataru
@wataru Куратор тега Математика
Разработчик на С++, экс-олимпиадник.
Не указаны ограничения, поэтому нельзя точно сказать, что это решение будет самым быстрым, но скорее всего задача решается через паросочетание на двудольном графе.

Покрасьте поле как шахматную доску. Черные и белые клетки. Каждая доминошка будет лежать на двух соседних белой и черной клетках. Постройте граф. Назначьте каждой клетке вершину, а ребра проведите между соседними клетками, если там нет перегородки. Граф - двудольный, ведь черные клетки окружены белыми, а белые - черными. Любое заполнение поля доминошками будет идентично паросочетанию в этом графе и наоборт. Найдите максимальное паросочетание: если оно не полное, то поле покрыть нельзя. Иначе ребра в паросочетании будут местами, куда надо класть доминошки.

Вот статья с описанием алгоритма и реализацией.

Это будет решение за O(n^2m^2).

Другое решение, которое будет быстрее, если одно из измерений очень маленькое, а второе очень большое - динамическое программирование по профилю. Гуглите эти слова. Это сложнее реализовать, но зато будет работать за O(4^n m)

Edit:
Alexandroppolus в коментариях предложил использовать Алгоритм Хопкрофта — Карпа для поиска паросочетания, что для данного графа будет быстрее предложенного мной алгоритма Куна и будет работать за O(nm sqrt(nm)) вместо O(n^2 m^2)
Ответ написан
Пригласить эксперта
Ваш ответ на вопрос

Войдите, чтобы написать ответ

Войти через центр авторизации
Похожие вопросы