Как учить теоремы по Высшей математике?

Question

[Mishele123]

Я студент, 1 курс. Решил начать медленно, но верно готовиться к сессии(наверно это глупо так рано начинать): учить теоремы и доказательства к ним. Но возник вопрос: Как мне выучить +- 50 теорем по каждому виду математики?(дискретная мат. , мат. анализ, алгебра и геометрия). Как их учили вы? (Тупым заучиванием я так понимаю далеко не уедешь)

Answer 1

[otdameskapizm]

Ну вообще, я бы не сказал, что это прям рано совсем. Наоборот, лучше учить по чуть-чуть и постепенно, нежели скопом все сразу перед экзаменом.
Попробуй брать теорему и практическое задание, на котором данная теорема работает. И во время выполнения задания старайся объяснить себе, каким образом данная теорема здесь применяется.

Я думаю, что каких то других СВЕРХ-способов выучить, а главное РАЗОБРАТЬСЯ в материале, не существует)))

Answer 2

[Griboks]

Не надо учить кучу теорем. Достаточно запомнить общий смысл + какую-нибудь обобщённую формулу.

Например, в школе изучают огромное количество формул для вычисления корней уравнения. В действительности, достаточно выучить всего одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение.

Comments

[AVKor]

Например, в школе изучают огромное количество формул для вычисления корней уравнения. В действительности, достаточно выучить всего одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение.

Прошу привести эту (эти) "одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение".

[Griboks]

AVKor, действительно, речь идёт о школьных уравнения, т.е. об алгебраических. Так вот, для их решения достаточно знать основную теорему алгебры.

[AVKor]

Griboks,

речь идёт о школьных уравнения, т.е. об алгебраических.

Во-первых, в школе изучают не только алгебраические уравнения.

Так вот, для их решения достаточно знать основную теорему алгебры.

Так вот, в школе, во-вторых, не изучают основную теорему алгебры и - более того - в-третьих, она бесполезна для решения уравнений.

Продолжаю ждать "одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение". Где формула (формулы)?

[Griboks]

AVKor,

Во-первых, в школе изучают не только алгебраические уравнения.

Большинство уравнений являются алгебраическими, для других можно выучить другие формулы.

в-третьих, она бесполезна для решения уравнений.

Всё очень просто. Любой многочлен можно разделить на (x-c), где c - корень.

[AVKor]

Griboks,

Большинство уравнений являются алгебраическими

Нет. Как раз меньшинство (фактически, только квадратные уравнения сюда попадают).

Всё очень просто. Любой многочлен можно разделить на (x-c), где c - корень.

... который надо вначале найти. И для нахождения которого основная теорема алгебры совершенно бесполезна.

Продолжаю ждать "одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение". Где формула (формулы)?

[hint000]

AVKor,

Продолжаю ждать "одну (ну или две) формулы

Вы беспощадны. :)
Ну не одна (две), ну десять (двадцать), в крайнем случае сто (двести). В общем, не более, чем счётное множество. Ибо произведение конечного числа счетных множеств есть множество счетное.

[AVKor]

hint000,

Вы беспощадны.

Да: к тем, кто пишет всякую ахинею.

[Griboks]

AVKor, если вы не умеете пользоваться теоремой, это ещё не значит, что она "совершенно бесполезна". Вся суть заключается в том, что корень как раз нет необходимости предварительно знать, что бы использовать P(n)=(x-c)P(n-1).

Для примера возьмём P(2)=x^2+1=(x-x1)(x-x2)=x^2-(x1+x2)x+x1x2. Вот мы разложил многочлен на тривиальные множители, осталось приравнять коэффициенты: {x1+x2=0; x1x2=1}. Решив эту систему уравнений обычной подстановкой, получаем ответ: x1=i, x2=-i.

Безусловно существуют некоторые особые случаи, которые так просто не решить. Но большинство алгебраических уравнений разложить на множители достаточно просто. Даже если и использовать систему уравнений коэффициентов, её решение много проще решения исходного полинома.

И ещё раз хочу повторить, что алгебраические уравнения занимают подавляющую часть времени обучения (алгебра) в школе. Если уж вам так приспичило, то для других областей существуют аналогичные "волшебные палочки", например метод Лагранжа для дифференциальных уравнений или уравнения Максвелла для электродинамики.

[Griboks]

hint000, речь не о том, что существует одна формула. Суть заключается в том, чтобы вместо огромного количества частных формул запомнить лишь одну общую. Тогда частные формулы вы станете использовать только в этих самых нестандартных случаях довольно редко и подсознательно запомните их в общих чертах.

Мол, если встречу задачу вида ..., то просто использую метод ..., который как-то там выводится из общей формулы.

И когда вы действительно встретите задачу этого вида, то вы просто загуглите этот метод или один раз его выведете, поэтому сразу запомните.

[AVKor]

Griboks,

если вы не умеете пользоваться теоремой, это ещё не значит, что она "совершенно бесполезна".

вы смешной. Я профессиональный математик, специальность 01.01.06 (математическая логика, алгебра и теория чисел) с опытом работы в высшей школе в 2,5 десятилетия, включая преподавание алгебры на профильной специальности.

Вы пишете ахинею. Основная теорема алгебры никак не помогает находить корни уравнений.

Но большинство алгебраических уравнений разложить на множители достаточно просто.

Бурда.

И ещё раз хочу повторить, что алгебраические уравнения занимают подавляющую часть времени обучения (алгебра) в школе.

Да хоть заповторяйтесь. Линейные и квадратные уравнения (это все алгебраические уравнения из школьной программы) - "подавляющую часть" с разбегу. Рациональные, иррациональные, тригонометрические, с показательной и логарифмическими функциями - это всё не алгебраические уравнения.

Если уж вам так приспичило, то для других областей существуют аналогичные "волшебные палочки", например метод Лагранжа для дифференциальных уравнений или уравнения Максвелла для электродинамики.

Мне ничего не приспичило. Это вообще в школе не изучают.

речь не о том, что существует одна формула.

Как это не о том? Вот ваши слова:

Например, в школе изучают огромное количество формул для вычисления корней уравнения. В действительности, достаточно выучить всего одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение.

Продолжаю ждать "одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение". Где формула (формулы)?

Суть заключается в том, чтобы вместо огромного количества частных формул запомнить лишь одну общую. Тогда частные формулы вы станете использовать только в этих самых нестандартных случаях довольно редко и подсознательно запомните их в общих чертах.

"Одну общую формулу" предъявите.

[Griboks]

AVKor,

Я профессиональный математик

Странно. Если вы такой профессиональный, то почему вместо конкретного математического опровержения моего примера вы понтуетесь? Думаете, что я как школьник испугаюсь злого учителя?

Основная теорема алгебры никак не помогает находить корни уравнений.

Вы точно её читали? Там чётко написано, что любой многочлен имеет корни, поэтому делиться на множителе без остатка вплоть до первой степени. А как именно делить, это уже дело опыта, а не глубоких знаний теорем.

Бурда.

Вот я привёл пример. Почему великий математик не в состоянии пояснить на примере, где тут замешена бурда? Почему вместо этого гениальный математик понтуется и ругается? Зачем я отвечаю на сообщения троля....

Рациональные, иррациональные, тригонометрические, с показательной и логарифмическими функциями - это всё не алгебраические уравнения.

Понятное дело. Но вот вы когда-нибудь сравнивали количества уравнений, которые решают школьники? Не по параграфам в учебнике и не сложность, а именно количество практики?

Это вообще в школе не изучают.

А причём тут школа? Основную теорему алгебры тоже в школе не изучают.

"Одну общую формулу" предъявите.

Действительно, я писал про одну формулу для решения алгебраических уравнений. Безусловно, в каждой области существует своё обобщение. Так вот для алгебраических уравнения я привёл целый пример выше.

[AVKor]

Griboks,

вместо конкретного математического опровержения

Ну какое ещё нужно "математическое опровержение" на ту ахинею, что вы несёте? Вы не знаете основную теорему алгебры (далее для краткости ОТА), тем более не понимаете её смысла, путаете её с теоремой Безу, приводите псевдопример, не понимаете того факта, что ОТА это теорема чистого существования: она устанавливает существование определённого математического объекта, но не позволяет его найти (соответственно, как я писал уже не один раз, бесполезна для нахождения решений уравнений).

P(n)=(x-c)P(n-1)

Вот это из теоремы Безу, а не ОТА. Это если ещё не учитывать странные обозначения.

Для примера возьмём P(2)=x^2+1=(x-x1)(x-x2)=x^2-(x1+x2)x+x1x2. Вот мы разложил многочлен на тривиальные множители, осталось приравнять коэффициенты: {x1+x2=0; x1x2=1}. Решив эту систему уравнений обычной подстановкой, получаем ответ: x1=i, x2=-i.

После подстановки вы получаете исходное уравнение. Которое далее сведёте к системе, которую далее будете решать подстановкой, сведя к исходному уравнению, которое сведёте к решению системы, которую будете решать подстановкой...

Но вот вы когда-нибудь сравнивали количества уравнений, которые решают школьники? Не по параграфам в учебнике и не сложность, а именно количество практики?

Т.е. вы утверждаете, что в школе в большем количестве решают линейные и квадратные уравнения, чем все иные? Ну и бред.

А причём тут школа?

Так вы даже нить разговора удержать неспособны. А вот это что:

действительно, речь идёт о школьных уравнения

Узнаёте?

Основную теорему алгебры тоже в школе не изучают.

Браво, кэп.

Действительно, я писал про одну формулу для решения алгебраических уравнений.

... и которой не существует. Не говоря уже о том, что вы заявляли, что достаточно знать "одну (ну или две) формулы, чтобы решить любое уравнение". Любое.

Безусловно, в каждой области существует своё обобщение. Так вот для алгебраических уравнения я привёл целый пример выше.

"Целый пример" (с). Меня не удивляет, что вы не понимаете разницы между примером и "одной формулой для решения алгебраических уравнений", учитывая, какую ахинею вы несёте.

[Griboks]

AVKor,

Ну какое ещё нужно "математическое опровержение" на ту ахинею

Так вы великий математик или ахинеолог?

путаете её с теоремой Безу

Нет, это вы что-то путаете. Прочитайте ещё раз. А то ещё будете учить этому других людей.

псевдопример

Почему псевдопример? Дано уравнение. Найдены корни. Откуда вы нашли псевдо?

это теорема чистого существования: она устанавливает существование определённого математического объекта

Действительно. Чтобы найти корень, нужно сначала убедиться в его существовании.

Вот это из теоремы Безу

Прочитайте ещё раз теорему, там присутствует остаток от деления. На каком основании вы обнуляете остаток? Может ещё некрасивые множители сократите?)

Ну и бред.

Ну и не расчехляйте свой бред, пока не приведёте статистические данные.

Так вы даже нить разговора удержать неспособны.

А я и не утверждал, что основную теорему алгебры изучают в школе. Это вы сами написали, сами себе ответили, сами себя похвалили. Я так понимаю, что математики нынче логику не изучают в вузе? Безусловно, школьники могут самостоятельно изучить любую теорему. Но, видимо, способность других людей иметь свою точку зрения и развиваться выходит за границы вашего мировоззрения.

Браво, кэп.

Конечно, вы правы, основная теорема алгебры не решает абсолютно любое уравнение. В первом же комментарии я об этом написал. Но ваше самомнение, похоже, не даёт вам прочитать его, поэтому вы каждый раз повторяете любое, общую формулу и подобные вещи. Зачем вы спорите с самим собой? Я не претендую на любое уравнение и никогда не претендовал. Но вы сами додумываете мой ответ, сами с ним спорите.

"Целый пример" (с).

Во всяком случае, этот мой один единственный пример - это на один аргумент больше чем у вас. Всё, что вы написали, - это вода.
Продолжаю ждать хотя бы одно адекватное предложение (может формулу или контрпример, хоть что-то?) от "профессионального математика с опытом работы в высшей школе в 25 лет, включая преподавание алгебры на профильной специальности."

[AVKor]

Griboks,

Так вы великий математик или ахинеолог?

Ни то, ни другое.

Нет, это вы что-то путаете. Прочитайте ещё раз. А то ещё будете учить этому других людей.

Специально для одержимого бредом:

Теорема 1 (теорема Безу). Элемент с∈А является корнем многочлена f∈А[Х] тогда и только тогда, когда X−с делит f в кольце А[Х].

(Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — М.: Физико-математическая литература, 2000. — 272 с. — С. 208).

Из другого учебника:

Теорема 4 (Безу). Для того чтобы полином f(x)∈A[x] делился на х—с, необходимо и достаточно, чтобы f(c)=0.

(Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 416 с. — С. 58.)

Почему псевдопример? Дано уравнение. Найдены корни. Откуда вы нашли псевдо?

Потому что. Повторяю на бис. Вот та бурда, которую вы написали:

Для примера возьмём P(2)=x^2+1=(x-x1)(x-x2)=x^2-(x1+x2)x+x1x2. Вот мы разложил многочлен на тривиальные множители, осталось приравнять коэффициенты: {x1+x2=0; x1x2=1}. Решив эту систему уравнений обычной подстановкой, получаем ответ: x1=i, x2=-i.

После подстановки вы получаете исходное уравнение. Которое далее сведёте к системе, которую далее будете решать подстановкой, сведя к исходному уравнению, которое сведёте к решению системы, которую будете решать подстановкой...

Прочитайте ещё раз теорему, там присутствует остаток от деления. На каком основании вы обнуляете остаток?

Вот и прочитайnе, я выше процитировал.

Ну и не расчехляйте свой бред, пока не приведёте статистические данные.

Их вам приводить, поскольку это вы утверждаете вот эту ахинею:

И ещё раз хочу повторить, что алгебраические уравнения занимают подавляющую часть времени обучения (алгебра) в школе.

Вы заявляли это, вам и приводить.

А я и не утверждал, что основную теорему алгебры изучают в школе. Это вы сами написали, сами себе ответили, сами себя похвалили.

Сходите к доктору. Вам в палату номер 6.

Конечно, вы правы, основная теорема алгебры не решает абсолютно любое уравнение.

Она никакое уравнение не решает. Ещё раз, по буквам: это теорема чистого существования: она устанавливает существование определённого математического объекта, но не позволяет его найти (соответственно, как я писал уже не один раз, бесполезна для нахождения решений уравнений). Но понимание данного факта выходит за рамки ваших "математических способностей" (если их вообще можно так назвать).

А если вы такой дока в ОТА, покажите-ка мастер-класс в решении вот этого уравнения с помощью ОТА:
x⁵-13x⁴+2x³+7x²-11x+6=0.

Зачем вы спорите с самим собой?

Ни зачем. Я этого не делаю. И вообще, не спорю (спорить можно только с равным, а вы в математике профан), а констатирую, что ваши идеи - бредовые.

Во всяком случае, этот мой один единственный пример - это на один аргумент больше чем у вас.

Как ноль может быть на единицу больше положительного числа?

Всё, что вы написали, - это вода.

Это вы так полагаете в силу недостаточного уровня интеллекта, чтобы хоть что-то понять.

Продолжаю ждать хотя бы одно адекватное предложение (может формулу или контрпример, хоть что-то?)

Я уже всё написал выше. Формул я, в отличие от вас, не обещал. Это вы заявляли, что есть одна формула, которая позволяет решить любое уравнение, но что-то мы её тут уже заждались увидеть, сию волшебную формулу...

[Griboks]

AVKor,

Потому что.

Не очень убедительно.

вы смешной Вы пишете ахинею Бурда нить разговора удержать неспособны одержимого бредом Сходите к доктору. Вам в палату номер 6. выходит за рамки ваших "математических способностей" недостаточного уровня интеллекта, чтобы хоть что-то понять

А вот теперь очень...