Как посчитать доверительный интервал для суммы двух ошибок при отличающимся числе степеней свободы?

Question

[Luka83]

Есть две случайные независящие друг от друга ошибки, для простоты будем считать распределения нормальными. (Это ошибки среднего, если это важно).
Их количественные характеристики оценены двумя выборками: в одной, например, 20 измерений, а в другой - 5.
В книжках пишут, что чтобы найти суммарную ошибку в этом случае нужно сложить дисперсии, извлечь из нее квадратный корень и получить СКО суммы.
Но мне от СКО надо перейти к доверительному интервалу, и как это сделать я не пойму. Брать статистику t(4) кажется слишком жестким.

Answer 1

[dmshar]

Что-то вы перемудрили.
Позиция первая.
Доверительный интервал любой случайной величины при заданном уровне значимости Альфа определяется границами, отсекающими такую область под функцией плотности распределения, площадь которой равна 1-Альфа.
Позиция вторая.
Если имеются две случайные величины, то случайная величина, определяемая как их сумма имеет математическое ожидание равное сумме матожиданий этих величин, а дисперсия определяется по формуле: D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2cov(X,Y) где
cov(X,Y) - это ковариация этих величин.
Позиция третья. Оценкой матожидания есть среднее арифметической значений выборки случайной величины, а оценкой дисперсии - сумма квадратов отклонений от среднего значения деленая на (n-1).
Если ваши случайные величины независимы между собой, то значение ковариации можно считать равной 0.

Таким образом, у вас имеется значение параметров распределения суммы этих величин. Дисперсии и матожидания. Имея эти параметры в любом статистическом пакете, в таблицах в учебниках статистики и теории вероятностей (ну или в ручную, если есть склонность к садомазохизму) можно вычислить (в таблицах - найти) границы доверительного интервала суммы как квантили Альфа/2 и 1- Альфа/2 квантили. Это и есть границы вашего искомого доверительного интервала.

Comments

[Luka83]

Проблема в том, что у меня нет (как всегда в реальной жизни) дисперсии, есть только выборочная оценка оной. Доверительный интервал для малой выборки, как у меня, считается через Стьюдентову t, я легко могу это сделать для каждой из двух величин по отдельности. Но как это сделать для суммы я не могу найти.

[dmshar]

Luka83, Последовательность действий я описал. Про оценку дисперсии - написал. Она (оценка) у вас тоже есть. То, что у вас малая выборка - это новая вводная. Значит при определении доверительного интервала суммы надо пользоваться не квантилями распределения Лапласа, а квантилями распределения Стьюдента.