Как доказать, что в многоугольнике не может быть угла 0°?
Вопрос, наверное, уровня средней школы, но почему-то в гугле ответа найти не могу, да и самому ничего не придумывается. Как доказать, что в многоугольнике не может быть угла 0° (Евклидова геометрия)?
P.S. Вопрос про внутренние углы выпуклого многоугольника.
Все-таки сам додумался. Если кому интересно, то вот:
Допустим у нас есть четырехугольник ABCD (хотя все ниженаписанное будет работать для любого многоугольника).
Предположим, что∠A равен 0°. Проведем прямую, пересекающую многоугольник в двух точках так, чтобы образовался равнобедренный треугольник с вершиной A, противолежащей основанию (см. рисунок). По свойству равнобедренного треугольника и по теореме о сумме углов треугольника там образуются два угла в 90°, а следовательно две прямые будут перпендикулярны третьей, следовательно они параллельны, следовательно противоречие с определением треугольника.
Доказательство конечно верное, но угла в 0 градусов не может быть в многоугольнике тупо исходя из его определения:
"Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений"
Затем вспоминаем что такое "замкнутая" и что такое "ломанная":
"Ломаная называется замкнутой, если первая и последняя точки ломаной совпадают; в этом случае дополнительно требуются, чтобы отрезки A 1 A 2 ... и A n − 1 A n также не лежали на одной прямой" (где А - вершины).
Очевидно что раз вершины не лежат на одной прямой то и угол в 0 градус просто не может быть исходя уже из определения нулевого угла:
"Нулевой угол (0°); стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество."
Так что можно было просто дать ответ: "по определению" :) !
доказывай через внешний угол и сумму внешних углов многоугольника: она равна 360, при этом есть две (ну n ) меры внешних углов от других углов многоугольника,
а внешний твоего нулевого угла, если он вдруг есть, уже равен 360, добавив остальные меры - получим противоречие
Сумма внешних углов может быть больше 360. У квадрата там 1080
Вот те углы между векторми сторон, которые в сумме дают 360, вот они у такого угла в 0 градусов будут 180. Еще досаточно остается для второго такого же угла.
Проблема тут не в углах, ведь вполне можно представить себе 2-угольник из двух совпадающих сторон, а в определении. Просто тупо накладывающиеся друг на друга стороны противоречат определению многоугольника. Потому что это бесполезная конструкция. Внутренности у нее нет, только граница.
Просто тупо накладывающиеся друг на друга стороны противоречат определению многоугольника. Потому что это бесполезная конструкция. Внутренности у нее нет, только граница.
у квадрата тоже будет 360:
я утрировано взял 0 и 360 - согласен, это неверно: правильно 0 и 180, и доказательство увеличивается до остальных построений с углами и сводится к тому же противоречию
то что внутренность пустое множество и все такое.. понятно, но
речь не о том, что противоречит, а об определениях:
угол есть? есть!
он может быт равен 0 ? нет
а почему?
докажите что стороны наложатся ))))) если они разной длины, например )))))))))
в итоге все закончится суммой внешних углов и противоречием
Это зависит от аксиом, которыми мы пользуемся и от определения многоугольника.
Если под многоугольником понимать замкнутую ломанную без самопересечений, то при наличие угла в 0 градусов многоугольник имел бы две стороны, которые бы имели больше 1 общей точки, что противоречило бы определению многоугольника.
Простой
