Известно множество точек периметра фигуры, как найти её площадь?

Question

[Filipp42]

Здравствуйте.
Мне понадобился планиметр, а покупать жаба душит. Гораздо интереснее сделать его самому. Решил поступить так: механическая часть состоит из двух подвижно соединённых реек. Рейка AB вращается вокруг неподвижной точки A, угол её поворота мы можем измерить. Рейки соединены в точке B угол между ними мы тоже можем измерить. В точке C закреплена иголка, которой мы проводим по поверхности фигуры. Зная углы и длины реек, можно легко рассчитать координаты точки C в любой момент времени.

Мы проводим по периметру всей фигуры и раз в dt считываем координаты C. В результате мы получаем массив координат точек. Соседние точки считаются соединёнными. То же относится и к двум крайним. Подскажите пожалуйста, каким алгоритмом мы можем рассчитать площадь фигуры? Желательно, если вы не просто вывалите его на меня, а понемногу подтолкнёте к решению.
Спасибо!

Answer 1

[Rsa97]

Площадь, ограниченная замкнутым контуром, вычисляется как интеграл по контуру.

Answer 2

[Виктор]

Сначала надо соединить (можно мысленно, если у вас хорошее геометрическое воображение, но можно и на чертеже) точки вершин прямыми линиями таким образом, чтобы вся фигура оказалась разбита на треугольники. А для площади треугольника есть готовая формула, вот она.
Если координаты вершин треугольника:
A (x1; y1)
B (x2; y2)
C (x3; y3)
То его площадь -
S = ½*((x2-x1)*(y3-y1) — (y2-y1)*(x3-x1))
Затем суммируем площади всех треугольников и получаем искомую площадь фигуры.
Найдено здесь.

Comments

[Wataru]

Можно ещё проще - не надо ничего разбивать на треугольники. Если площадь треугольника по этой формуле считать со знаком, то можно тупо соединить все вершины полигона с точкой (0, 0). В итоге все лишнее и дважды подсчитаное уйдет и останется только площадь полигона.

Answer 3

[mlyamasov]

Так: https://habr.com/ru/post/579364/#comment_23512988

Answer 4

[alekseiami]

А нафига нужно два шарнира, в точках A и B?
Что, если сделать просто жёсткую рейку AB, по которой будет скользить держатель иглы?
Для того, чтобы навести иглу на какую-либо точку вашей плоскости, вы меняете угол поворота рейки и расстояние от точки A до иглы. Вычисление координат — классическая прямая геодезическая задача.

Comments

[Filipp42]

С двумя шарнирами проще, к ним можно подсоединить угломеры, и зная длины реек и углы поворота шарниров можно рассчитать координаты при помощи триганометрии. Это проще, чем мерить переменную длину рейки AB (с точки зрения механики).