Базу данных можно выбрать любую. Она не играет роли в realtime приложениях. Позвольте вам немного объяснить. Для передачи данных между клиентом и сервером в браузере существует всего два протокола. HTTP и Websocket. Firebase не магия и также использует их. Если браузером не поддерживается Websocket, то firebase откатывается на HTTP. Используя общераспространенный подход к разработке на PHP у вас не получится использовать websocket протокол поскольку типичные PHP приложения не живут дольше 1 запроса. Соответственно да, в таком варианте остается только ajax. Но точно также работает и firebase если в браузере нет поддержки websocket, так работает facebook, telegram и много всего остального. Они используют long-polling. Клиент отправляет запрос к скрипту на сервер, скрипт в цикле опрашивает хранилище mysql или более продвинутый вариант mysql+redis (чтобы не грузить запросами mysql) и пока данных не будет, цикл так и продолжит крутиться, для клиента это просто выглядит как повисший запрос к серверу. Как только данные появляются, они отправляются на клиент, соединение разрывается, а клиент сразу же отправляет новый запрос.
Есть развитие этой идеи. Называется HTTP Streaming. Отличие от long-polling в том, что после отправки данных клиенту соединение не разрывается, а сервер продолжает отправлять последующие данные по этому же соединению. Соединение разрывается по таймауту. Минус в том, что прокси-сервера могут кешировать небольшие пакеты данных и данные нужно раздувать например пробелами, чтобы пакет данных достигал минимального размера и был способен пробить кеш прокси-сервера. Плюс в том, что если у вас данные для клиента появляются скажем с переодичностью раз в секунду, то не будет происходить постоянного открытия-закрытия соединения как при long-polling.
Есть вариант, когда можно реализовать небольшую прослойку на socket.io. Ваше PHP приложение пишет данные для клиента например в redis. Приложение на socket.io подписывается на redis. Когда PHP что-то отправляет в redis, то socket.io мгновенно об этом узнает и рассылает это событие по websocket протоколу всем подключенным клиентам. Минусы. Раздуваете стек. Нет консистентности данных между записью в основное хранилище (mysql/postgre/mongo/etc) и redis. Соответственно может возникнуть ситуация, когда данные записали, но в redis событие не ушло. Поменяете местами, будет наоборот, событие есть, данных в базе нет.
Вариантов в целом очень много. Всё это называется
Comet. Вам проще всего реализовать
long-polling.
А реал-тайм база, которая умела пушить данные клиенту по tcp протоколу (но не в браузер) была и называлась она
rethinkdb.com. Ныне не развивается. IP в России заблокирован. На сайт можно сходить по VPN.