Из популярных для юнит-тестов
mochajasmine
Для end-to-end тестов
nightwatchprotractor
Да, можно тестировать как клиентскую часть, так и серверную. На клиентской части когда пишешь юнит-тесты может возникнуть проблема с DOM, так как не очень понятно, как мокать такие зависимости. Поэтому клиент сайд фреймворки, такие как angular пропагандируют подход к написанию кода таким образом, чтобы бизнес-логика никогда не перемешивалась с DOM. Таким образом всю важную бизнес-логику можно будет покрыть юнит-тестами, без всяких проблем.
Функциональные (end-to-end) тесты эмулируют поведение пользователя через реальный браузер. То есть end-to-end тест нажимает кнопочки, заполняет поля, ходит по ссылкам. Эти тесты более медленные, чем юнит-тесты. Изменения в верстке страницы могут их поломать. Но они более высокоуровневые, дают убедиться, что страница работает именно так как предполагалось. Не зависят от кода, а следовательно не имеют проблем с DOM в отличие от юнит-тестов.
Лично я пишу только юнит-тесты. И не пишу интеграционные и функциональные. Юнит-тесты очень быстрые, можно в автоматическом режиме прогонять при каждом сохранении файла проекта. В тоже время они дают приемлемый уровень уверенности в том, что билд проекта скорее будет работать, чем нет. Если писать все типы тестов, то можно выстрелить себе в ногу. Будет медленее. Будет больше проблем с исправлением кучи всяких разных тестов.
Простой
