Wataru

Решите систему линейных уравнений. Обозначьте коэффициенты с1,с2,с3, сложите полиномы, приравняйте коээфициенты пред всеми степенями x к 0. Будет 3 уравнения, 3 неизвестных, но одно из них лишнее (раз они линейно зависимы). Подставьте что угодно ненулевое вместо C, решите первые 2 уравнения относительно A и B.

Что означает вот эта первая надпись с одним знаком суммы? Там же 2 переменные в условии - j и k! Эта надпись означает сумму по всем значениям j и k, т.ч. 1 <= j < k+j <= n. Это множество допустимых значений можно представить как какую-то фигуру на плоскости.
Ее можно описать вот этими неравенствами, а можно перебрать все допустимые значения j, для каждого из них посмотреть, какие значения k попадают в искомое множество. Вот так и получаются 2 суммы, одна по j, другая по k.
k не может быть меньше 1 (Видимо, по условию раньше) и больше n, потому что иначе k+j превзойдет n. Зафиксировав k, остаются 2 условия 1 <= j и k+j <= n. ведь j < k+j всегда. Из этих двух условий получаем границы суммирования на j.

В комментариях мы выяснили, что была матрица 3x4 из цифр от 1 до 9. над ней произвели одно из трех действий и выдали результат. Надо по нему восстановить исходную матрицу. Надо решить на одной конкретной матрице.

Надо попробовать применить все 3 метода и посмотреть, какой из них даст матрицу из цифр 1-9.

Итак, для случаев "стороны включая элемент" и "стороны не включая элемент" можно восстановить исходную матрицу однозначно перебрав только первый столбец. Потому что посмотрите на любое число в первом столбце. Вы знаете изначальное число там (вы его перебрали) и знаете сумму известных чисел в столбце и числа справа (это вам дано в матрице). Отсюда можно найти число справа. Когда вы восстановили второй столбец, пройдитесь по всем клеткам в нем и из уравнений для значений там восстановите третий столбец и т.д.

Вот так проделайте для 9^3 вариантов, если по пути получили числа не из диапазона 1-9, то можно дальше не считать, надо пробовать другой вариант для первого столбца.

Чуть хуже для случая "стороны и диагонали не включая элемент". Все так же переберите 3 числа в первом столбце. Во втором столбце вы получаете 3 уравнения: сумма первых двух чисел известна из числа в первой строке. Сумма всех трех известна из числа для второй строки. Сумма двух последних - из последнего числа. Т.е. вам дано x+y=A, x+y+z=B, y+z=C. Отсюда элементарно z=B-A, x=B-C, y=A+C-B.

Этот перебор отработает где-то за 1мс - довольно быстро.

Есть более общий метод. У вас есть матрица из неизвестных, а каждое число в заданной матрице - это правая часть линейного уравнения. Вот составьте матрицу - выпишите эти все линейные уравнения. Методом Гаусса ее преобразуйте в диагональный вид. Какие-то переменные станут свободными - их надо перебрать. Оставшиеся по известным уравнениям посчитать.

Если брать более большой промежуток, отображение будет не биективным.
Например, для x=2 отображение дает -2. Это же -2 можно получить для x=-2/3.
Потом, в точках x=+-1 это отображение вообще не определено.

На графике или в тексте ошибка. Или там r-r0 должно быть в тексте, или стрелочку не в ту сторону нарисовали.
Так бывает - в учебниках и методичках встречаются опечатки.

Это называется кластеризация.

Восстановить точное значение вы никогда не сможете, но можно взять среднее в каждом кластере. Такими измерениями занимается статистика

1) l не вычисляется. l перебирает некоторые простые числа до log n (2 и те, которые дают остаток 1 при делении на 4).

2) Процесс описан внизу страницы. Вы представляете n в виде произведения нечетного (и не делящегося на описанные выше простые числа) n' и вот этих всех простых чисел в каких-то степенях. Далее, поскольку мы можем эти простые числа разложить в сумму двух квадратов после предподсчета, то используя описанный в статье ранее трюк можно получить разложение на квадраты n из разложения n'

3) Это трюк, чтобы все эти простые числа найти до логарифма найти.

4) Кажется не обязательно и натуральный логарифм тут используется, чтобы оценка сложности была оптимальная. Но я не уверен. Лучше не надо.

Размещение тут не лучшая идея, потому что придется перебирать, сколько же двоек будет в пути.

Тут вообще-то ответ - числа фиббоначи. Подумайте, почему.

Должны быть какие-то определенные свойства матрицы даны. Иначе оно нифига приблеженно не равно. Например,

X= {{1, 5}, { 1, 5}}, Y={{5, 1/5}, {5, 1/5}}

слева даст: 1/2 (10/2 + 2/10) = 1/2 (5 + 0.2) = 2.7

а справа: (5+5+1+1)/(1+5+1+5)= 1

Вообще даже близко не равно. Меняя 5 в матрице выше на сколь угодно большое число, вы получите сколь угодно большую разницу.

А вдруг непрерывное отображение, которое их связывает, где-то идет вертикально?

Вам надо взять f:[0,1] -> R^2, f(0) = (-1,1), f(1) = (1,-1).

Дальше ввести g(t) = f(t)_y - f(t)_x и там уже применять теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Отличное свойство модуля в том, что можно при вычислениях брать модуль на каждом этапе (если нет делений - в этом случае надо искать обратное по модулю). Поэтому исходное выражение можно переписать так: (g^m mod n^2) * (r^n mod n^2) mod n^2

И код вычисления этого такой:

nn = n.multiply(n);
res = g.modPow(m, nn).multiply(r.modPow(n, nn)).mod(nn);