Почему sum(sum(xy)/sum(x))/n приближенно равен sum(sum(xy))/sum(sum(x))?

Question

[notxleb]

Почему sum(sum(xy)/sum(x))/n приближенно равен sum(sum(xy))/sum(sum(x))? X и Y - двумерные матрицы размером [n x m]

Comments

[shurshur]

Что такое sum(xy)? Сумма произведения матриц?

[notxleb]

shurshur, https://ibb.co/q98r7N6

Answer 1

[Wataru]

Должны быть какие-то определенные свойства матрицы даны. Иначе оно нифига приблеженно не равно. Например,

X= {{1, 5}, { 1, 5}}, Y={{5, 1/5}, {5, 1/5}}

слева даст: 1/2 (10/2 + 2/10) = 1/2 (5 + 0.2) = 2.7

а справа: (5+5+1+1)/(1+5+1+5)= 1

Вообще даже близко не равно. Меняя 5 в матрице выше на сколь угодно большое число, вы получите сколь угодно большую разницу.

Comments

[notxleb]

import numpy as np

n = 10
m = 100
M_array = np.random.randint(low = 0, high=25, size=(n,m), dtype=int)
N_array = np.random.randint(low = 0, high=25, size=(n,m), dtype=int)

print(((M_array * N_array).sum(-1)/M_array.sum(-1)).sum()/n)
print((M_array * N_array).sum()/M_array.sum())

Как минимум для целочисленных с увеличением размерности матриц

[Wataru]

notxleb, Для случайных матриц, видимо, выполняется в среднем. Если все числа примерно равны среднему, то в ваших формулах можно все посокращать. Но это только для случайных. Вот вам пример целочисленной матрицы где разница в двести раз между суммами:

import numpy as np
n = 2
m = 2

M_array = np.asarray([[5, 5],[1, 1]])
N_array = np.asarray([[25, 25],[1, 1]])


print(((M_array * N_array).sum(-1)/M_array.sum(-1)).sum()/n)
print((M_array * N_array).sum()/M_array.sum())

Edit: даже не то, что все числа примерно равные важно, а то, что в случайных матрицах суммы по строкам всем примерно одинаковые. И тогда ваши формулы вырождаются в 1/n(a1/b1+a2/b2+..+an/bn) ~= (a1+a2+..+an)/(b1+b2+...+bn), где все ai и bi примерно равны между собой. И если их все заменить на A и B, то слева получится 1/n(n*A/B)=A/B, а справа n*A/(n*B) = A/B.

Но это только если все суммы по строкам в матрицах примерно одинаковые.

[notxleb]

Wataru, вот и я думаю, что дело в мат.ожидании для большого ряда случайных чисел. Есть данные, где распределение неслучайно, матрицы в среднем [100, 10], и приближенное равенство выполняется(с погрешностью до 3-4 знака после запятой).

[Wataru]

notxleb, Сформулируйте свойства. Откуда эти матрицы взялись-то? Это статистика? Элементы по какому-то распределению берутся? Тогда, видимо, для больших чисел, можно через закон больших чисел сказать, что все строки в сумме дают примерно среднее с какой-то ошибкой. Потом надо доказать, что (A+eps)/(B+eps) ~ A/B+f(eps). Аккуратно найти чем ограничена ошибка и в ваших формулах ее отдельно вынести.

Answer 2

[Dimonchik]

а что , препод не объяснил? разложи и то и то в выражения со скобками и сведи назад

Comments

[notxleb]

Я пробую, меня смущает, что если m<3 то результаты разные дают формулы