Wataru

Сначала заменой x=x'+x0, y=y'+y0 можно убрать коэффициенты D и E и считать, что центр лежит в точке {0, 0}.

Дальше надо подобрать такой угол поворота, что коэффициент при xy станет нулем. Тогда останется что-то вроде A'x^2+C'y^2 + F' = 0 - а значит эллипс выравнен вдоль осей и это был искомый угол.

Подставляя формулы поворота системы координат x=x' cosa-y' sina и y=x' sina + y' cosa и приводя слагаемые можно составить уравнение на этот самый коэффициент перед xy. Он будет озависить только от A,B,C и sina, cosa. Далее это тригонометрическое уравнение надо причесать и решить. Вам придется воспользоваться вот этой формулой для котангенса двойного угла: .

У вас будет уравнение с косинусами, синусами. Его можно элементарно привести к тангенсу. Далее применяете эту формулу и получаете ответ.

Вы меняете изображение на месте, проходя по нему сверху вниз. Когда ваш синус сдвигает пиксели вниз - вы перетираете все пиксели в столбце самым верхним.

Надо или копировать с изменениями в новое изображение, или менять направление прохода в зависимости от знака синуса.

А вдруг непрерывное отображение, которое их связывает, где-то идет вертикально?

Вам надо взять f:[0,1] -> R^2, f(0) = (-1,1), f(1) = (1,-1).

Дальше ввести g(t) = f(t)_y - f(t)_x и там уже применять теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

my_round(123,-2) = 100.

Точность говорит, что все цифры после этого индекса должны быть 0. А предыдущая, может увеличится на 1, в зависимости от правил округления.

Используйте функцию max.

Значение в каждой ячейке будет

max(0, (тукущее значение) - max(0, (платеж) - (сумма всех следующих ячеек)))

Поскольку нужны будут все частичные суммы, то есть смысл в соседних ячейках подсчитать все эти суммы.

В смысле, как читать? Слева направо, соблюдая порядок операций.

Вот первая формула r= ... - это значит, что значение переменной r вычисляется по выражению справа. Там участвуют переменные p, g, значения которых вам даны.

Там дробь, в числителе стоит сумма p и g. В знаменателе один плюс значение логарифма в квадрате от суммы корня pg+p и g^2. Расставьте скобки и получите (p+g)/(1+log(...)*log(...))

Аналогично вторая формула для y через p,g,r и z ( три из них вам даны, r вычисляется в предыдущем действии).

Возведение в квадрат - зависит от языка программирования. Или функция sqr(), или **2, или просто написать (выражение)*(выражение). lg() - вызов встроенной функции логарифма. Опять же, зависит от языка, как именно она называется у вас. Квадратный корень - функция sqrt().

TL;DR:

S = Pi*sqrt(3 / [ (1/L1+1/L2+1/L3)^2-2*(1/L1^2+1/L2^2+1/L3^2) ])

тут L1, L2, L3 - квадраты трех измерений.

Вывод формул:
Чуть-чуть аналитической геометрии и куча элементарной алгебры помогут вам вывести эти уравнения.
Если ввести систему координат с осями по главным радиусам эллипса, то уравнение эллипса будет:
x^2/a^2+y^2/b^2 = 1

При этом все точки под углом alpha к большой полуоси будут на луче:

x(t, alpha) = t*cos(alpha)
y(t, alpha) = t*sin(alpha)

Обозначим синус и косинус угла для первого измерения как:
s = sin(a1), c = cos(a1)

Пусть квадраты расстояний - L1, L2, L3.

Если пересечь луч и эллипс, то можно составить уравнение для длины вдоль угла a1 (первое измерение), просто подставив известные x(a1, sqrt(L1)) и y(a1, sqrt(L1)).
1/L1 = c^2/a^2+s^2/b^2

Для остальных измерений надо прибавлять 120 градусов к углу под cos и sin. Если раскрыть cos(120+a1) = cos(120)cos(a1)-sin(120)sin(a1) и sin(120+a1) = cos(120)sin(a1)+sin(120)cos(a1), то можно составить еще 2 уравнения:

1/L2 = (-1/2*c-sqrt(3)/2*s)^2/a^2+(sqrt(3)/2*c-1/2*s)^2/b^2
L3 = (-1/2*c+sqrt(3)/2*s)^2/a^2+(-sqrt(3)/2*c-1/2*s)^2/b^2

Всего с учетом тригонометрического тождества s^2+c^2=1 у нас 4 уравнения на 4 неизвестных a, b, c, s.

Но нам не нужны все значения. Площадь эллипса Pi*a*b, а радиусы эллипса - a и b.

Раскрыв квадраты выше и всячески складывая эти уравнения можно получить в итоге

1/a^2+1/b^2 = 2/3*(1/L1+1/L2+1/L3)
1/a^2*b^2 = [ (1/L1+1/L2+1/L3)^2-2*(1/L1^2+1/L2^2+1/L3^2) ]/3

Отсюда площадь:

S = Pi*ab = Pi*sqrt([ (L1+L2+L3)^2-2*(L1^2+L2^2+L3^2 ]/3)

Чтобы найти радиусы эллипса, вам надо найти a и b. Выше уже даны два уравнения для суммы и произведения 1/a^2 и 1/b^2 - можно из них получить квадратное уравнение для t=1/a^2. Два его решения и будут вашими радиусами эллипса (не забудьте взять корни и обратить). Тут надо аккуратно подставить выражения в школьные формулы для квадратного уравнения.

Есть целая наука об этом. "Временные ряды", вроде, называется. Там есть куча всяких моделей, типа ARIMA.

Логика вашего решения вообще непонятна. Какие-то жадные сдвиги одной из двух переменных на 1, да еще и ответ ровно один раз вернется, когда как в задаче надо найти все решения уравнения.

Там по вашей ссылке в задаче есть подсказка: уравнение можно переписать в виде (x-2y)(x+2y)=n

Отсюда получается решение: Перебирайте все делители n, не превосходащие корень. Пусть делитель d, тогда второй множитель будет n/d.

Осталось решить систему линейных уравнений:

x-2y=d
x+2y=n/d

Решается в уме - x=(d+n/d)/2, y=(n/d-d)/4

Отслось только учесть диофантовость уравнения - ответ должен быть неотрицательные целые числа. Значит, надо чтобы оба делителя d, n/d давали одинаковый остаток от деления на 4 и 2. Ну и d<=n/d, но это учтется перебором делителя до корня.

Вот и все решение - циклом переберите делитель до корня, убедитесь, что он и оставшийся множитель дают один и тот же остаток по модулю 4, вычислите x и y и выведите их.

Кубическая функция с первым коэффициентом 1, как у вас, уходит в минус бесконечность слева и плюс бесконечность справа. Она может не иметь экстремумов или иметь два - максимум левее минимума.

Если экстремумов нет - будет возрастающая функция, с одним вещественным корнем всегда. Если экстремумы есть, то надо или чтобы они оба были меньше 0, или оба были больше.

Вот, возьмите производную, найдите когда у нее есть корни и где они. Подставьте их в исходную функцию и найдите экстремумы - будут выражения от a. Дальше составьте условия: или корней нет, или они есть и максимум меньше 0, или они есть и минимум больше 0. Решите неравенства и найдите интервалы для a.

У вас ошибка: надо еще P30(0) прибавлять.

Какой-то более простой формулы мне придумать не удалось, и она вряд ли есть. Если руками вывести формулы для маленького количества банков, то там все-равно получается полином n/2-ой степени, т.е. от 15 слагаемых никуда не уйти.

Я думаю, в этой задаче у вас приняли бы просто символьную записть в виде суммы.

Если нужно числа - можно написать программу, или считать на калькуляторе. Начинайте с 0.7^30. Делайте m+, домножайте на 3/7*30/1, потом на 3/7*29/2, и так далее (нажимая m+ каждый раз), пока 15 слагаемых всего не наберется.

Или вбить в wolframalpha и получть 98.3%.

Можно попробовать вычислить корень быстрым алгоритмом. Но там сложно. Гуглите Karatsuba square root. Есть открытые реализации. Есть еще какой-то адский метод через быстрое преобразование Фурье, попробуйте погуглить и его.

Более простой в реализации, но менее быстрый метод вычисления корня - бинарный поиск. Храните l, r, l^2, r^2 и lr. По этим числам можно вычислить m=(l+r)/2, m^2, m*l, m*r без длинных умножений, а только складывая длинные числа и деля на 2. Вам надо поддерживать, чтобы l^2 <= n <= r^2. Изначально можно сделать l=1, r=10^51 (или больше - половина длины входного числа + немного, чтобы точно квадрат был больше n), потом делить отрезок пополам и отбрасывать ненужную половину.

Еще есть вероятностный метод через символ Лежандра/Якоби. Это будет самым быстрым методом.

Это как смотреть на последнюю цифру. Квадраты могут давать там 0, 1, 4, 9, 6, 5. Но нет ни одного квадрата, который оканчивался бы на 2. Т.е. если число заканчивается на 2, то можно сразу говорить, что это не квадрат. Это мы взяли остаток от деления на 10 (последняя цифра) и посмотрели, какие из них хорошие. Вот символ Лежандра - это такая проверка для модуля по любому простому числу (а не 10).

Если брать некоторое простое число p, то n может быть квадратом, только если символ Лежандра (n/p) - равен 1 или 0 (По научному: n - должно быть квадратичным вычетом).

Если брать небольшие (<64-битные) простые числа, то можно за линию считать n%p и потом вычислять символ Лежандра (n%p/p) по алгоритму через символ Якоби за O(log(p)^2). Когда подсчитали символ Лежандра и если он -1, то n - точно не корень.

Тут проблема в том, что это необходимый, но недостаточный критерий - если для какого-то p вы получили -1 - то это точно не квадрат. Но возможно можно подобрать такое число, что все ваши тесты дадут 1, а оно не квадрат. Поэтому надо брать много простых чисел. Скажем, 20. Желательно еще числа брать достаточно большими. Но их не надо искать каждый раз, можно захардкодить. Грубая прикидка говорит, что вероятность ошибки такого алгоритма 2^(-количество простых чисел).

Т.е. берете много простых чисел. Считаете для каждого n%p выполняя деление большого числа на короткое (один проход по массиву цифр). Потом считаете символ Лежандра. Если получили где-то -1 - то точно не квадрат. Иначе - скорее всего квадрат.

Можно совместить вероятностный тест и вычисление корня. Сначала проверьте парочку простых чисел на символ Лежандра для отсечения точно не квадратов. Еще проверку последней цифры можно сделать, это очень дешево. Если не отсеклись, то считайте корень. Так будет всегда работать правильно но будет быстрее работать в некоторых случаях.