nllm

Я выяснил, что это связано с тем, что API сервер не получает header 200 OK и считает, что сообщение не доставлено.

Тут речь скорее не про отправку идет, а про вебхук.

При отправке никаких хедеров не надо добавлять. Делаете post или get запрос с данными и все.
Вот самый простой способ отправки:

file_get_contents("https://api.telegram.org/bot***/sendMessage?chat_id=***&text=Проврека");

В первую очередь, ищите ошибку у себя в коде, где вызывается метод отправки сообщения.

Скорее всего, просто держат паузу равную продолжительности видео + несколько секунд.
Покажите ботов, в которых видели реализацию.

Сам диалог и есть аналог формы.
Ввод логина - просто сообщение. А ввод пароля можете сделать с помощью инлайн-клавиатуры. Кнопки на клавиатуре - цифры/буквы. После ввода меняете текст сообщения, к которому привязана клавиатура на звездочки. Тогда в истории не будет видно пароль.
Но такой способ не очень удобен, если пароль из букв. Для цифрового пин-кода самое то.

Все верно расписали. Ничего сложного и извращенного нет.

Напишите все на том же языке, на котором сделали бота.
Если знаете js и вам интересно с ним работать, то смотрите в сторону nodejs и развивайтесь в этом направлении.

На js сможете и с xml работать (первая задача), и отправку на почту делать (вторая задача).
А так все можно решить на любом языке, который сможете запустить на сервере с вашим ботом.

Так можно сделать с помощью inline-кнопок
Или оставить как есть, но сделать работу с состояниями.
Например, после нажатия на /start бот попадает в состояние "выбор языка". После нажатия на одну из кнопок "Русский", "Украинский" и "Английский" проверяете, что указали (нажали) одну из кнопок, а не ввели произвольный текст и если все хорошо, то меняете состояние на ожидание следующей команды, выводите соответственный текст.

Про работу с состояниями было много вопросов, они все есть на toster.ru

Может не тот chat_id указываете? Или токен от другого бота?
А так в description все описано.

На самом деле, все есть вот здесь (при условии, что группа ваша):
https://vk.com/dev/callback_api

Получаете запросы о событиях на ваш сервер. Далее делаете пересылку в телеграм.

Отличается ли этот процесс от обычного подключения web страницы к БД?

Конечно, не отличается. Бот это просто приложение/программа.
Делаете также, как при разработке, например, сайтов.

Посмотрите mtproto. Сможете эмулировать работу клиента.

Надо весь код бота смотреть, иначе будет трудно

Вроде как вопрос не в том, что запрос не приходит от telegram, а в том, что у вас в ответ, что-то не то уходит. Скрипт проверили? Он работает? Если просто к вебхуку обращаться, то что происходит?

Подобных вопросов было много:
Конечный автомат, как реализовать с циклом for при использовании telegram api?
Как написать автомат состояний (api telegram)?
Какой стандартный алгоритм работы бота?
Как сделать так, чтобы бот не потерял «нить разговора»?
Как осуществить некое подобие сессии с пользователем при использовании Телеграм бота?
и т.д.

В силу маленького опыта, не могу найти в документации

Состояния это не задача api платформы. Это задача, которую надо решать при создании бота. Поэтому и не нашли в документации ничего.

Выше все верно написали.
Самое главное получать данные из инстаграм, а отправлять уведомления в телеграм это дело техники.
Получили данные из инстаграм, собрали ответ, отправили в телеграм. Все.

Покажите весь код.