Виктор

При рассмотрении этого вопроса надо постоянно иметь ввиду, что правильный (не упрощённый) BMS исполняет 5 функций (а продвинутый - даже 6), и рассмотрению подлежат они все. Вот вы рассмотрели только защиту от перезаряда (и вывод ваш верный) - а от переразряда?
Также в этих рассмотрениях всегда надо иметь ввиду разброс параметров элементов и настроек разных BMS - а он всегда есть, даже когда BMS совершенно однотипные.
Далее, вышеупомянутые защиты касаются напряжений батарей, а у BMS есть ещё функции защиты от превышения токов - тоже зарядного и разрядного по отдельности. Как поведёт себя эта цепочка, когда сработает только один BMS?

Вот по этим причинам последовательное соединение батарей с индивидуальными отдельными BMS не практикуется. Я бы даже сказал - запрещается, поскольку на такое их соединение обычные BMS не рассчитываются. BMS по самому принципу его действия должен быть один общий на всю последовательную батарею.
Впрочем, из этого правила есть одно исключение - конденсаторные BMS можно включать последовательно, но при этом надо делать перекрытие на одну последовательную секцию, чтобы энергия могла распространяться по всей длине цепочки. На схеме показано, как из батарей 4S и 6S с индивидуальными конденсаторными BMS можно получить батарею 9S:

Начало 5 вольтам было положено благодаря широчайшему распространению цифровой ТТЛ-логики, такое значение получалось как наиболее соответствующее её схемотехнике (по количеству задействованных в цепях прямых кремниевых PN-переходов). Подробности, почему сделано так, а не иначе, можно найти в книжках В. Шило, который много писал о цифровой схемотехнике.
Эту эстафету подхватил USB-порт. И тоже благодаря его широчайшему распространению это напряжение стало использоваться даже в схемах, напрямую не связанных с USB и ТТЛ.
Ну а точку поставило распространение 4-вольтовых литиевых аккумуляторов, опять-таки широчайшее - уж очень удобно оказалось строить зарядники лития от 5 вольт.

А что касается умения зарядника поднимать своё выходное напряжение до 12 вольт и более - это не имеет прямого отношения к происхождению 5 вольт и больше связано с тем, что зарядники стали "умными", т.е. имеющими свой процессор со своей программой, в которую можно запихнуть достаточно сложный функционал.

как выяснить, какие ячейки в наилучшем состоянии?

Это элементарно: надо кроме ёмкости учесть ещё один параметр - внутреннее сопротивление. Именно оно повышается по мере эксплуатации и приводит к тому, что не все банки держат напряжение необходимое (опускаются ниже 3.5 при нагрузке).
Измерить его можно с помощью широко распространённого прибора IMAX B6, либо сварганить простейший нагрузочный стендик из резистора и мультиметра.

можно ли "пересаживать" ячейки?

Конечно, но весьма желательно объединять в батарею более-менее совпадающие по параметрам элементы, поскольку качество и срок службы батареи определяется её наихудшим элементом.

Вы не написали, как именно комп выключается. Если это банальный обрыв питания, то обычно при следующем запуске, прежде чем запуститься нормально, ОС проводит самопроверку - подчищает всё то, что не завершилось правильно в предыдущем сеансе. Если при следующем включении есть такая самопроверка - значит, дело всё-таки в электропитании, независимо от того, что вы это отрицаете (другой причины просто не может быть).
Второй вариант - когда выключение происходит штатно, с закрытием запущенного пользовательского софта, системных процессов и служб. Это возможно и от железа (например, датчики перегрева или периодическое самопроизвольное замыкание кнопки включения от случайных толчков), но вероятнее всего софтовая причина. В этом случае воспользуйтесь подсистемой восстановления - откатитесь на точку восстановления, созданную до возникновения этой беды. Если восстановление системного раздела не включено или не настроено - ну тогда воспользуйтесь резервной копией или переустановите ОС.
Чтобы ничего не упустить, можно предположить и удалённое управление питанием вашего компа через сеть (в некоторых БИОСах есть такая опция), но это уже совсем экзотика.

ВАХ - чисто академический параметр, который для повседневной практики ничего не даёт. А вот ёмкость, да ещё и мультиметром... Тут уже ответили, как это сделать. Поэтому добавлю другой способ, косвенный, который годится только для зарядки через USB. Подключите ваши наушники на зарядку через вот такой аппаратик, и он покажет вам зарядную ёмкость. Умножив её на КПД аккумулятора, вы получите нужную вам разрядную. КПД литиевого аккума равен примерно 0,8...0,95 (снижается по мере увеличения срока службы).

От 19 вольт не зарядить, надо повышать, но вы и сами это знаете. Делить батарею на две половинки - не решение, поскольку при этом вы должны вместо штатного BMS-6s подключить другой, на 3s.
Да, придётся делать что-то повышающее, или применить универсальный зарядник наподобие IMAX B6, которому достаточно 11...16 вольт, даже для зарядки батареи 6s.
Но на мой взгляд, самое правильное не заниматься рукоделием, а заказать что-то наподобие вот такого аппарата (29 вольт, 2 А, размер с ноутбучный БП), или найти на Али нечто попроще на меньший ток и поменьше габаритами. Ну и подождать с месяц, пока приедет.

Ничто не мешает вам питать ноут полагающимися 19 вольтами (впрочем, там хватит и 18) не от сетевого БП, а от полутора автомобильных аккумуляторов, с ёмкостью хоть 40, хоть 100, хоть 250 ампер-часов. Вот так прямо и берите один целый, другой с отводом от трёх банок (у многих аккумов свинцовые перемычки доступны для подключения отвода), и соединяйте последовательно.
Но вся забота насчёт подзарядки такой самоделки (да и прочее обслуживание - проверка уровня электролита, доливка дистиллированной воды и пр.) будет лежать на вас.

Как обычно - либо софт, либо железо. По железу: вскройте аккумулятор (хотя бы старый), померяйте напряжение на элементах. Если одинаковое и в допустимых для LiIon пределах (3,0...4,15 вольт), значит, проблема не в батарее, и можно попробовать зарядить её от чего-то внешнего. Поскольку этот внешний не всегда обеспечивает балансировку в многоэлементных батареях, можно попробовать зарядить элементы по отдельности, например, подключая проводами каждый отдельно по очереди в старый мобильник вместо штатной батарейки. Конечное напряжение у всех элементов должно дойти до 4...4,1 вольт. Потом собрать корпус и посмотреть, как батарея себя поведёт в ноуте. "Железная" неисправность может быть и в зарядной цепи ноута - тогда она вам не подвластна, надо нести профессионалам.
По софту - сложнее, вплоть до переустановки драйверов батареи и самой Винды. Всё, что тут можно посоветовать - это тупо перепробовать все варианты, потому что альтернатива - это потеря ноута.

Другие отвечающие упускают один важный момент. Дело в широкой распространённости евро-розеток, которые рассчитаны на большой ток и на толстые (5 мм) штыри евро-вилок - тех, у которых в обязательном порядке есть третий заземляющий контакт. А на фото показаны тонкие (4 мм) штыри от вилок, похожих на совецкие, которые евро-розетка обжимает неплотно - ничего удивительного при такой разнице в диаметрах. Зачастую такой 4-миллиметровый штырь не обжимается в розетке, а просто прикасается к её контакту. И если пропустить через такое касание ток в 20 ампер, то - искрение, нагрев, размягчение пластика и от размягчения дальнейшее (по нарастающей) ухудшение контакта.
Решение проблемы - в полном отказе от вилок с контактами 4 мм, и переход на 5 мм.