Ну понятно что так работать не будет.
Надо запускать скрипт в фоне и читать постоянно, например так
#!/bin/bash
TG_BOT_ID=AAAABBBBCCCCDDDD
TG_CHAT_ID=00001111
tail -f -n 1 /var/log/messages | while read LINE; do
curl -s -X POST https://api.telegram.org/bot$TG_BOT_ID/sendMessage -d chat_id=$TG_CHAT_ID -d text="$LINE"
done
таким образом при запуске скрипта, в телеграм отправится последняя строчка,после чего скрипт будет висеть и отправлять новые строчки по мере их появления.
Главное обеспечить запуск скрипта в фоне при рестарте
