lamer350

<?php if (pll_current_language() !== 'en' && pll_current_language() !== 'pl' ) { ?>

next_post_link() выводит шаблон ссылки, а не чистый url
В код вернется
<a href="%link" rel="next">%title</a>
самый действенный способ чтобы добавить нужный вам класс и убрать стрелки который добавляет WP автоматически к ссылкам:

$prev = get_previous_post_link('%link', '%title'); 
echo str_replace( '<a ', '<a class="videos__controls_btn" ', $prev );

$next = get_next_post_link('%link', '%title'); 
echo str_replace( '<a ', '<a class="videos__controls_btn" ', $next );

ACF

Если все работает как надо в режиме инкогнито - то логично что проблема просто в кеше страницы...
Не знаю о каких поп апах вы говорите, но к примеру те что по нажатию на кнопки выскакивают с первого раза у меня. Как и какое то рекламное окно при прокрутке...

Что вообще происходит?)
action=mail.php это равно https://вашдомен.го/mail.php, а не как вы думаете https://вашдомен.го/wp-content/themes/название темы/mail.php. Это так не работает. Используйте плагин контактной формы если не знает как сделать самому, либо файл для post обработки кидайте в корень если уж так хочется говнокодить (забегая наперед, куда бы вы его не положили в принципе это не правильно).
Форму для WP надо делать так: https://inprocess.by/blog/otpravka-formy-ajax-v-wo...

Переносите сначала сайт, единственное что необходимо сделать - Migrate DB плагином экспортировать базу, так как домен останется тем же - просто изменить root директорию на путь который будет на VPS.
Перенесли сайт, подключили базу в конфиге и после меняете DNS. Если все правильно сделали - пользователи и не заметят ничего. Только сессии потеряются, если кто то что то в корзину добавлял или был залогинен - выкинет.

url: './wp-admin/admin-ajax.php',
Уберите точку в начале ссылки.
url: '/wp-admin/admin-ajax.php',
Как я понимаю вам подгружает 404 страницу в ответ

Редактор называется Gutenberg, а чтобы он заработал в custom post type надо в аргументах регистрации кастомного типа поста добавить 'show_in_rest' => true