Скажу на словах, думаю идея будет понятна.
Принтуй каждое событие, которое тебе приходит на бота.
Допустим используем LongPoll:
При отправке сообщения в группу боту прилетает событие, что пришло сообщение от такого-то пользователя, такой-то текст и так далее.
Поменяй аватарку в группе и посмотри в консоль, какое событие тебе вывело. Изучи его так сказать.
И далее в коде условие - если тип события == <тип события, которое прилетело>, то что-то с ним делаешь, извлекаешь из него нужные тебе данные.
Надеюсь я чем-то помог)

1. Браузер отправляет по умолчанию GET запрос, а кнопка у тебя оправляет POST
2. Ты пропустил данные которые отправляет кнопка



Вот рабочий код:

import requests
data = {
    'params[rows]': 10,
    'params[type]': 0,
    'params[season]': 'all',
    'params[direction]': 'desc',
    'params[order]': 'points_sum',
}
p = requests.post('https://albertparty.ru/api/get_new_rows', data)
print(p.text)

Тестируй)

P.S. С каждым кликом по кнопке значение params[rows] увеличивается на 10. Т.е при втором клике тебе надо передавать 'params[rows]': 20

Открытый API есть не у всех сайтов. И если он есть, тогда в большинстве случаев на сайте можно найти документацию на неё.
У Вашего сайта, мне кажется, нет API, чтобы использовался он обычными юзерами. Или может есть, какой-нибудь корпоративный, но он для нас закрыт.

Вам нужно скорее знать не API, а ссылку, по которой нужно сделать запрос, чтобы получить информацию. Открывает испектор кода (просмотреть код) и идем во вкладку Network. Ставим запись событий (красная кнопочка в левом верхем углу). Далее на сайте тупо жмем кнопку найти и смотрим запрос. (В инн можно дичь какую-то ввести и не париться).

И видим:


Итак. После нажатия на кнопку мы можем увидеть проскочивший запрос.
Теперь мы знаем URL, куда нужно отправить запрос: https://my2.soliq.uz/main/info/search/data
Метод: POST
И примерную структуру данных, которую нам нужно отправить (Form Data).
Можно увидеть в поле searchtext наш ранее введенный в поле текст.

Все. Делаешь post запрос на данный url и передаешь данные. Получаешь ответ.