Скажу на словах, думаю идея будет понятна.
Принтуй каждое событие, которое тебе приходит на бота.
Допустим используем LongPoll:
При отправке сообщения в группу боту прилетает событие, что пришло сообщение от такого-то пользователя, такой-то текст и так далее.
Поменяй аватарку в группе и посмотри в консоль, какое событие тебе вывело. Изучи его так сказать.
И далее в коде условие - если тип события == <тип события, которое прилетело>, то что-то с ним делаешь, извлекаешь из него нужные тебе данные.
Надеюсь я чем-то помог)

1. Браузер отправляет по умолчанию GET запрос, а кнопка у тебя оправляет POST
2. Ты пропустил данные которые отправляет кнопка



Вот рабочий код:

import requests
data = {
    'params[rows]': 10,
    'params[type]': 0,
    'params[season]': 'all',
    'params[direction]': 'desc',
    'params[order]': 'points_sum',
}
p = requests.post('https://albertparty.ru/api/get_new_rows', data)
print(p.text)

Тестируй)

P.S. С каждым кликом по кнопке значение params[rows] увеличивается на 10. Т.е при втором клике тебе надо передавать 'params[rows]': 20