kalapanga

А чего тут сильно выбирать? Каких-то особых требований у Вас нет. Наложили нужные фильтры (диагональ, ssd, интегрированное видео, память от 8 ГБ) на сайте магазина, отсортировали по цене, да и всё.
Понятно, что четыре ядра у процессора было бы круче, чем два, но скорее всего не впишитесь в бюджет. И так уже Windows в стоимость не заложили (не нужна?).
Так что выбор как выбор. Для офиса сойдёт.

А какие тут могут быть способы, если диск сдох? Нужно в магазин за новым идти. Работать с таким уж точно нельзя. Можно ли потом будет с него хоть что-то вытащить - это уже отдельный вопрос.

Вы не написали назначение ноутбука. За эту сумму выйдет неплохой ноутбук для офисной работы, учёбы, программирования, но совсем негодный для игр.
Ноутбук с ms-dos (или как в магазинах пишут "без ОС") покупают те, кто хочет установить на ноутбук, например, линукс и не хочет переплачивать за предустановленную Windows. Или те у кого уже есть коробочная версия Windows. Вы же не собираетесь совершать уголовное преступление и использовать пиратский софт?

На сайте любого интернет магазина в разделе ноутбуков настройте фильтр - ssd, до 22 000 р. И увидите, что выбирать-то по сути не из чего. Единичные модели с двухядерным процессором, 4 Гб памяти и без Windows (noOS/Linux). Формально, под Ваши задачи пойдёт, но особо комфортной работы не ждите.
Поддержу Дмитрий в предложении рассмотреть БУ

Даже если Вы совсем вынете из ноутбука заряженный на 100% аккумулятор, то эти 100% не останутся в нём навечно. По-моему, саморазряд 3% в сутки - вполне нормально.

А почему не предположить, что батарея сдохла? Сдайте по гарантии, раз ему 5 месяцев - пусть там разбираются.

А чего бы ему памяти не добавить? Якобы там 2 слота и в сумме до 8 гиг умеет. А остальное железо, как тут уже написали вполне ещё годное. А сейчас на любом дистрибутиве всё в память упираться будет.

Добавлю, что хотя 2,5" SSD сейчас в большинстве своем имеют толщину 7 мм, но есть модели 10 мм (вроде даже 15 мм бывают). Такие модели могут в некоторые ноутбуки не встать.

Судя по описаниям - можно M.2. Здесь есть перечень конфигураций, среди которых есть конфигурация с двумя дисками: Игровой ноутбук Lenovo Legion Y520. А здесь есть фотографии внутренностей (Раздел "Обслуживание"), на которых HDD и M.2 диски: Обзор игрового ноутбука Lenovo Legion Y520 15IKBN
Но 100% гарантию только собственные глаза дадут. Мало ли, может в модели с HDD на разъёме M.2 сэкономили! Но это маловероятно, скорее всего всё на месте. Можете попробовать ещё в техподдержке Lenovo уточнить.

Да, возможно.

Что-то не слышал я ни разу про такие опыты. И даже если вдруг Вы найдёте матрицу, которая устроит Вас по параметрам и которая чудом подойдёт к Вашему ноутбуку (во что мне с трудом верится), то ещё неизвестно, что выгоднее будет - купить матрицу + оплатить работу по замене или просто продать Ваш ноутбук и купить другой, устраивающий Ваши глаза.

У китайцев

Есть простой вариант - раздолбан разъём питания. Или то, что втыкают, или то, во что втыкают. По описанию ну очень похоже!

Судя по картинкам на сайтах магазинов - 14,8 V (Среди фотографий ноутбука с разных ракурсов, часто фото батареи присутствует)

Если такой ноутбук продаётся с 10-кой и на сайте Асера лежат драйвера для 10-ки, должна на нём 10-ка работать? Конечно должна! Значит дело в кривом дистрибутиве.

В чём вопрос-то - у Вас же был ноутбук. Он по параметрам устраивал (по производительности, по размерам/весу)? Ну так и фильтруйте ноуты на сайте любимого магазина по этим параметрам. А дальше всё от бюджета зависит.

Если уж установка ОС нормально прошла, то я бы всё-таки настройки биос внимательней глядел. Какие устройства предлагаются для загрузки и в каком порядке. Видел где-то описание биоса с опцией запрета загрузки с данного устройства - нет ли тут такой?
Во, типа такого: Восстанавливаем загрузку с жесткого диска