Как избавиться от жалоб DMCA на музыкальный сайт?
Гарантированно - никак. Жаловаться имеет право каждый. На что угодно.
Но если вы уберете видео с сайта - жалобы с большой вероятностью прекратятся.
И надо понимать что такого рода жалобы пишет не человек, а бот.
Он там не разбирается в тонкостях законодательства и прочих неинтересных вещах. Там все проще - бот определил по некоторым признакам наличие видео на сайте - отправил жалобу по шаблону, и пошел дальше.
Действительно ли я нарушил чьи то права?
Мало данных, но если вы разместили видео не получив разрешения от правообладателя - значит нарушили права этого самого правообладателя.
Законно ли размещать чужие музыкальные видео с Youtube у себя на сайте?
При наличии разрешения от правообладателя - законно, иначе незаконно.
Если я ничего не нарушил, что нужно написать что бы страницы сайта восстановили в поиске и сняли с них ограничения?
Зависит от того кто ограничил? Гугл - попробуйте им написать. Может поможет, а может и нет. Тут никто никому ничего не обязан. Может и не восстановить.