hint000

Арифметика-то простая.

DC30-60V

Очевидно, что максимальной мощности мотор достигает при подаче максимального напряжения 60V. При этом потребляемый ток (в амперах) будет = 1350 W / 60 V.
Чтобы не терять энергию на DC-DC преобразователе, лучше сразу подобрать батарею на подходящее напряжение 60V. Грубо считаем, полтора часа на 50% мощности это 0.75 часа на 100% мощности. Значит нужна ёмкость батареи 0.75 h * 1350 W / 60 V ~= 17 A*h
Это при КПД 100% у батареи и КПД 100% у контроллера, а в реальности значит нужна несколько бОльшая ёмкость.
Просто оценка снизу - это 60 V, 17 A*h.

Надо учитывать, что разряд полной ёмкости литиевой батареи за 1.5 часа - это приемлемая, но всё же довольно тяжёлая нагрузка (именно для любой литиевой технологии), будет вызывать заметный нагрев батареи и желательно это как-то контролировать. При сильном перегреве возможно возгорание батареи, в очень редких случаях взрыв.
Допустим, что решили пойти безопасным путём и взяли свинцовую батарею (которой пофигу высокий ток разрядки, в отличие от литиевой), прикидываем её вес на основании имеющихся свинцовых батарей других ёмкостей и напряжений, получаем 25-30 кг для 60 V, 17 A*h. Думаю, неприемлемо. Прикидываем для обычных литиевых АКБ формата 18650, их потребуется около 100 штук (это если брать самые лучшие, ~3400 mA*h, а если брать подешевле меньшей ёмкости, то их количество ещё нужно увеличивать) и весить они будут (без учёта какой-то конструкции, в которой они будут держаться) около 5 кг. Уже вполне терпимо, но ещё раз скажу: контролируйте нагрев таких батарей, как при заряде, так и при разряде!
Если где-то найдёте подходящую тяговую батарею (т.е. изначально рассчитаную для питания электромотора на каком-то транспорте), то это, вероятно, будет оптимально. Попробуйте поискать батареи для электровелосипедов, для электросамокатов; я не знаю, какие там характеристики, но вполне возможно, что подберёте что-то подходящее.

Смотрел готовые варианты - отлично, но большинство в моем бюджете либо маломощные, либо с маленькой батареей

Бюджет не озвучен, так что прикидывайте самостоятельно. По-моему 100 штук самых крутых (по ёмкости) батареек 18650 будут стоить не так уж мало.

Ничего не знаю конкретно про HostCms, но обычная логика в том, чтобы все стили инкапсулировать в тему и там похоронить от глаз админа, который пусть только выбирает одну, другую, пятую или десятую тему, целиком со всеми стилями. Если же надо ручками поправить, то это искать как редактирование темы. Возможно, через ssh\ftp-доступ к файлам темы и ручным редактированием в любом текстовом редакторе.
Но, повторю, это не конкретно про HostCms, а общие соображения.

Для доказательства по указанной теореме (википедия подсказывает) нужно построить две инъекции - туда и обратно.
Инъекция из интервала в отрезок тривиальная, переводящая каждую точку интервала в такую же точку отрезка.
Инъекция из отрезка в интервал - это инъекция из отрезка в любой отрезок, полностью содержащийся в интервале.

Насчёт непосредственной биекции пока не придумал, ибо математику учил 25 лет назад и за это время мозги засохли.