Дисклеймер: не уверен, что правильно понял проблему, но попытка не пытка. Попробуйте первый раз инициализировать контролы внутри бутстраповских табов (т.е., в данном случае, делать вызов
.slick()) из события
shown.bs.tab (ну и запоминать, что инициализация состоялась, чтобы при повторном выборе таба её не делать повторно, либо unslick'ать всё на парное событие
hidden.bs.tab).
Событие
shown.bs.tab генерирует контрол, который переключает табы. Т.е.
$('button[role="tab"]')
.on('shown.bs.tab', function (e) { … } );
Из
e достаёте таб (см. бутстраповскую документацию на событие), и для его содержимого уже делаете инициализацию.
