Voland69

Выключить в BIOS/EFI Setup следующие вещи: Fast Boot, Hybrid Sleep и все подобное.
Потом выключить ноут (не перезагрузить) и попытаться загрузиться с флешки.

"2560 на 1440 и масштаб на 200%" значительно лучше чем "1920 на 1080 и масштаб стандартный на 125%", потому что масштабирование будет целочисленным, у вас в итоге будет 1280х720 логических пикселей, каждый из которых состоит из 2х2 физических.
При дробных масштабах некоторый софт, особенно старый, может "мылить", т.к. делался pixel-perfect для 100% масштаба, а теперь растягивается в 1,25-1,5 раза.

"Уменьшится ли количество пикселей при увеличении?" - физически нет, логически конечно уменьшится - элементы управления будут крупнее, и их на площади экрана поместится меньше.

Не знаю Вашей ситуации в целом, но попробуйте где-нибудь посмотреть 1920х1080 при 100% на 17,3" экране - семнашка это довольно большой экран, возможно понравится, и будет больше места.
Раньше были семнашки на 1600х900, было вполне удобно - сейчас таких не встречал.

1280х720 логических пикселей плохо тем, что современный софт в основном ожидает большего разрешения, и может банально не хватать места.

В современном инете тонны JS, активно потребляющего проц и современные браузеры любят память, которой в старом девайсе может быть мало. Видеопамять побоку, скорее способность видеоядра декодировать онлайн видео (если таковое есть в задаче).
В целом по некроноутам расклад такой:
2005 - Пентиум М и около того - точно мимо, ничего свежего не вывезет
2009 - 2010 - Последние Core2Duo - первые Core i - вывозит на грани комфорта
2012 - Core i поколения IvyBridge - вполне можно пользоваться.

Главных правил два:
1. никаких низкопотребляющих процов (U и Y мимо, хотя бы M, или QM/H/HQ в зависимости от поколения)
2. максимально доступный объем памяти, и хотя бы 8 гигов этой памяти. Если платформа не поддерживает 8, она вам не нужна.

Плата видеозахвата с HDMI входом и USB подключением к компу возможно вам поможет.
Не знаю как у них с задержками, но стримеры вроде бы именно их используют чтоб консольные игры стримить.

Ставить могут как sata, так и nvme - в зависимости от платформы ноута и комплектации.
nvme однозначно лучше, так как и скорость интерфейса выше (грубо говоря лучшие sata ssd дают порядка 550 МБ/c при теоретическом максимуме 600 (потолок сата 3 интерфейса), а nvme могут и 3000 МБ/с и некоторые даже выше), и сам протокол разработан специально под твердотельные накопители, что существенно повышает IOPS (тут с цифрами сложнее пример привести, т.к. еще зависит от контроллера диска) - что в реальной жизни зачастую важнее максимальных линейных скоростей.

Номиналы на конденсаторах это верхний предел их рабочего напряжения. По факту на них напряжение может быть меньше.
Если сильно греется дроссели и маленькие микросхемы, значит кто-то жрет очень много электричества - такое может быть например при пробое видеочипа по питанию.
Если можно сидеть в биосе, на видео не похоже - обычно экран не включается.
Не исключено что это цепи питания проца - увеличиваем нагрузку и все вырубается, может быть защита срабатывает.

ИМХО Алексей Харченко прав - в сервис.

Если есть желание покопать, то нужно искать схему платы и выяснять, к чему относятся дроссели.
Тыкать мультиком наугад под напряжением, когда что-то на плате сильно греется - довольно надежный способ спалить что-нибудь еще.

Крайне желательно иметь ЛБП и выставить на нем небольшой предел по току, чтобы ненароком не спалить ничего.

P.S. детальные фотки платы в районе греющихся элементов, маркировка платы и максимально полное описание ноута позволит сообществу гадать чуть менее рандомно, может кто типовую неисправность признает, например.

Называется это slimline sata. Насколько помню интерфейсная часть там обычная, а питание усечено.