Потому что ты не понимаешь, что делаешь.
btn_ent = Button(frame_btn, text='Ввести', font=100, bd=2, height=5, command=click())
Ты присваиваешь в качестве обработчика щелчка по кнопке
результат вызова функции click(). У неё нет ни одного return, так что она возвращает None.
Если ты хотел назначить click() как обработчик, то нужно было указать саму функцию, а не результат её вызова.
command=click
Далее, сравнение
txt == 'чтототам'
некорректно, так как StringVar() и str - разные типы данных, и они не будут равны. Используй
txt.get() == 'чтототам'
. Одинокий вызов txt.get() в начале click() бесполезен, так как ты игнорируешь возвращаемое get() значение.
Собственно, я не вижу где ты инициализируешь переменную txt. У тебя нет ни одного вызова txt.set().
Ну и до кучи, присваивание TextR перед root.mainloop() ни на что не повлияет, так как она использовалась ранее.
Если хочешь, чтобы присваивание переменной тут же отражалось в элементах управления, нужно использовать еще один StringVar(), и вызывать его метод .set() для смены значения.