ThunderCat

Скрипач не нужен, родной (с)
Аргументы против jq:
- современные браузеры достаточно хорошо поддерживают единый синтаксис современного екмаскрипт(native js)(на самом деле нет).
- сторонняя библиотека, работает медленнее чем натив и в основном состоит из с-сахара (тоже не совсем правда)
- тащить еще один ресурс весом от 64 кб до 200 кб, еще и со сторонних ресурсов замедляет загрузку( правда, но бред)
Аргументы за:
- Современные браузеры как и всегда один другого "ровнее", всегда есть косяки и "нюансы", на которые еще и попадаешь обычно в самый неподходящий момент, в жк обычно все работает одинаково везде, ну или лучше чем в нативе.
- В жк реализована куча плюшек в 1 функцию которые в нативе занимают "многабукав", не каждый начинающий напишет их правильно, да и профи не все напишут оптимально, уверен что в большинстве случаев написанный нативом функционал будет хуже аналога из жк.
- размер мин пакета жк 64 кб, и все они лежат на быстрых цдн серверах. Думаю это последнее что может повлиять на скорость загрузки страницы.
- есть ОГРОМНОЕ количество скриптов написанных с учетом жк, не использовать их глупо, писать свой велосипед - вообще только в целях обучения(не берем крайние случаи когда плагин писал упоротый пингвин).
- Синтаксис и краткость записи - вообще вне конкуренции.
- Старые браузеры никто не отменял, часто заказчик требует чтобы работало в ие8, натив не канает или доставляет море анального удовольствия.
Вывод: Если ты крут в жс, еще и работаешь в ангуларе/ещечетамдляфронта и тебе нужно сделать 2 действия в очень современных браузерах - jquery не нужен, и ты это сам знаешь. Если слова ангулар, вуе и проч для тебя не больше чем шум листвы за окном, а навесить плагинов и эффектов нужно - jquery наше все.

UPD: для всех кто там отписался а ля "в связи (...), исчезновением проблемы совместимости со старыми IE (что и было основным назначением jQuery)." - свежачок

На "родном" языке лаконичность приходит сама собой, хотя иногда смотришь на свой код - зачем здесь эти 4 сторки, это же все в 1 легко... А на новом "многословность" чаще всего обусловлена отсутствием практики и нюансов реализации конкретного яп.

Чет в коде нигде не подключается jquery, в консоли должны сыпаться ошибки, которые можно посмотреть и обмозговать, но скорее всего тупо не подключен жквери.

У вас по кнопочке аяксом подгружается форма? Зачем? Вы что-то введенное пользователем получаете?
Аякс нужен там, где заранее сформировать какие-то элементы нет возможности, или вариантов слишком много, в данном случае всего 2 формы, с заранее известными параметрами, нет смысла для этого аякс прикручивать. Делаете 2 формы, даете атрибут хиден, по выбору кнопочки показываете нужную форму. При заполнении формы уже можете аяксом отправить пользовательский ввод, но можно и просто субмитом обойтись, по вкусу.

if($('select :selected').val() == '--Выберите город--'){

ну и сделайте консоле.лог этого селекта валуе. Неужели так трудно посмотреть что и на каком этапе пошло не так?

Хром закладки - папки - тэги, пока удобнее любых "инструментов" и "всегда под рукой". Если сразу с темой не могу определиться, кидаю в общую папку с инфой, как только количество неупорядоченного переваливает за слегка раздаражающее глаз - посвящяю 5 минут сортировке по папкам. Ничего удобнее имхо не придумать.

$("#check").click(function(){

Сергей ZSA, в корне не верно, никогда так не пишите, во первых .click устаревший синтаксис, используйте .on(), во вторых если чекбокс сработает по клику на лейбл, а не на чекбокс, событие обработано не будет. Пишите $("#check").on("change", function(){

Вариантов масса.
Один из самых обкатанных и производительных - сокет.ио, но нужно будет ставить отдельно сервер ноды, если не на ноде проект.
Вариант с пхп и лонг поллинг - на хабре есть пару толковых статей. Приемлемый вариант, его использует вк, например, но у них там свой пхп, с блэкджеком и компиляцией. В целом, при небольшой нагрузке и всем написанном на пыхе - нормальный вариант.
Вариант с жс и пхп, чат инициализируется с клиента запросами к аякс куску сайта, отвечающему за чат. Ставится сет интервал 10-15 секунд и опрашивается сервер на предмет "есть чё?". Минусы: задержка между сообщениями до 15 сек, и бомбежка сервера запросами.
Есть еще экзотика всякая, но там уже совсем треш и угар имхо.

не лучше задавать селектором? типа такого, один для начала другой для конца.

$('form').on('submit', function(
{
   $('.hideme').hide();
   $('.showme').show();
}))

По вопросу не очень понятно что вы хотите получить, если нужно рисовать фигуры на хтмл/цсс/жс есть варианты:
1) Канвас, как уже упомянула @nata-ponchik
2) CSS стили со скруглением углов для кругов
3) SVG объекты
4) тупо вставить картинку и наложить на нее текст, если надо, как написал Froggyweb, это не всегда подходит, но как вариант..
5) Извращения типа флеш и сильверлайт (привет из 2010).

Если поломать мозг пару часов можно еще вариантов настрочить - например расположить пнг с прозрачностью в нужных местах через позиционирование и z-index.

В качестве сервера использую NodeJS.
В файле index.html вставил скрипт:

1) Нода отвечает на все запросы по хттп, соответственно некому отдать файл на интерпретацию в пхп
2) Установлен ли на сервере пхп вообще?
3) пхп не компилируемый, а интерпретируемый.
4) стандартное расширение для обрабатываемых пхп файлов (сюрприз!) - .php