Rsa97

Не число, а символ. В переменную попадёт ASCII-код символа. Это неявное приведение типов.

А в чём проблема? Есть два варианта. Первый - работать с числами, тогда компьютеру всё равно, в какой системе вы вводите и выводите значения, он всё равно считает в двоичной системе. Второй - работать со строковым представлением чисел, тогда пишете свой класс и перегружаете для него арифметические операции.

Тело оператора switch выполняется до завершающей фигурной скобки или до оператора break.

Судя по названию, это callback-функция, которая вызывается движком при клике на блок. В этом случае параметр - это обязательный аргумент для передачи компонента, вызвавшего событие, из движка в функцию. Движок ожидает, что callback-функция принимает этот параметр, и неважно, используется он в теле функции или нет.

Проанализировать, как меняется красота при операции сложения элементов и работать с остатками от деления.

почему при указывании 3 элемента, он начинает считать с 1

Кто вам такое сказал? Элементы массива в C++ всегда нумеруются начиная с нуля.
Предупреждение для того и даётся, чтобы вы исправили код. Иначе во время работы программы могут быть самые неожиданные эффекты, начиная от некорректных вычислений и заканчивая вылетом программы из-за исключения при попытке доступа к чужой памяти.

Это значит, что вы где-то накосячили с рекурсией и arr_sort вызывается до тех пор, пока не произойдёт переполнение стека (stack overflow).
Ну, а поскольку никакого обработчика исключений вы не используете, то исключение нигде и не обрабатывается.
P.S. И если не понимаете сути алгоритма, то перепечатывать его надо тщательнее. Здесь должна быть не единица, а l.
mid = arr[(f + l) / 2];

Потому что вы делаете pop_back на пустом векторе.

unsigned long - 2³²-1 = 4'294'967'295
1'073'741'824 * 8 = 8'589'934'592, что больше максимального значения для данного типа.
Используйте unsigned __int64 или unsigned long long, если они есть в вашей системе.

(-x)*(2*i+1)/(2*i) - вещественное число умножается на целое, результат вещественный, затем вещественное число делится на вещественное, результат вещественный.
(-x)*((2*i+1)/(2*i)) - целое число делится на целое, результат целое, затем вещественное число умножается на целое, результат вещественный.

Оба операнда деления целочисленные, соответственно результат тоже целочисленный.
y = (c * 1.) / d;

Что-то не сходится в задании.
Примем x = 0
F(0) = (π - 0) / 2 = π/2
Σ_{i = [1, ∞)}(sin(i * 0) / i) = 0