path LIKE CONCAT(:categoryPath, '%') И, ЕМНИП, если для поля пути задать однобайтную кодировку, то в современном MySQL получим ключ 3072 символа, что при id категорий до миллиона даст вложенность более 400 уровней. Для магазина, думаю, хватит. И даже для хранения пути по именам с длиной имени до 128 символов в однобайтной кодировке получим 23 уровня вложенности.
Locally-delivered resources such as those with 127.0.0.1 URLs, localhost and http://*.localhost URLs (e.g. dev.whatever.localhost), and file:// URLs are also considered to have been delivered securely.
1. Строите касательную к графику функции в нужной точке.
2. Берёте произвольный отрезок этой касательной.
3. Находите проекцию этого отрезка на ось OX. Длина этой проекции dx.
4. Находите проекцию этого отрезка на ось OY. Длина этой проекции dy.
5. Вычисляете dy/dx. Полученное значение - величина производной в нужной точке.