stdout - это стандартный вывод, обычно это консоль. Вот запустили вы в консоли приложение - и увидели, что оно вам написало, потому что оно выводит сообщения в stdout. И не зря тут std в названии - "стандартный". С ним умеет работать много чего. Вот возьмем допустим systemd: он запускает сервис, его stdout ловится и попадает в journald. Можно куда-нить еще завернуть. Системы управления контейнерами тоже так умеют.
Как собирать? Ну вот вы ж всё умеете, вы там про очереди, logstash пишите - вот, это оно. Вы берете filebeat, ну или там какие еще *beat'ы у него есть, ловите ими вывод ваших приложений и пихаете его в эластик. Ну или допустим fluentbit берёте и им шлете логи в очередь какую-нить, а оттуда уже в хранилку.
1. В каких случаях обычно пишут логи в syslog ?
ну syslog очень много лет, он был еще до всех этих контейнеров и 12-факторных приложений ;) Так что когда-то им пользовались практически все.