Найти количество чисел заданного порядка, модуль разницы соседних цифр которых не больше 1

Да, если не пытаться выписать формулу, а программировать алгоритм (при небольших N), то, конечно, надо делать так. Хотя ряды можно и не перещёлкивать:

int A[12]={0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0},B[12];
int res=9;
printf("1 => 9\n");
for(int K=2;K<=N;K==){
for(int a=1;a<=10;a++) res+=B[a]=A[a-1]+A[a+1];
for(int a=1;a<=10;a++) A[a]+=B[a];
printf("%d => %d\n",K,res);
}

Будет ли это быстрее, не знаю. Но квадратных скобок точно меньше :)

Как написать условие?

То есть, чтобы ответить на вопрос "у тебя в кошельке все купюры меньше 10000 руб?" человек должен открывать кошелёк и смотреть есть ли там деньги? Гораздо проще сообразить, что купюр 10000 и больше не бывает, и всегда отвечать "да". А услышав ответ "нет" на вопрос "у вас все купюры по 100 руб?" таможенник может попросить предъявить купюру, которая не 100-рублевая. Не предъявишь - соврал.

Как осуществить поиск функции по известным значениям?

Может быть, просто посчитать частную производную F по каждой из переменных (как (F(a1+da,a2,..,an)-F(a1,a2,...,an))/da) в нескольких точках, и выбрать переменную, для которой среднее квадратическое будет минимальным?

Как построить конечные поля (Поля Галуа)?

Ответ "задача некорректна" является допустимым, и иногда правильным. Мне на олимпиадах пару раз такое попадалось. Засчитывали :) Один раз даже признали, что дали некорректную задачу специально. Но это был довольно высокий уровень...

Как написать условие?

А зачем проверять длину? Ведь в пустом массиве все элементы равны num (по определению, квантор всеобщности на пустом множестве имеет значение "истина" - иначе в логике пришлось бы оговаривать очень много специальных случаев).

Есть массив треугольников, заданных координатами вершин. Как определить номера треугольников, подобных первому?

Квадратные корни не нужны. Достаточно, чтобы были равны отношения квадратов сторон.
Считаем квадраты сторон треугольника, для каждого берем минимум, максимум и сумму квадратов сторон (это чтобы не сортировать). Считаем отношения минимумов, максимумов и сумм. Если все три отношения равны - значит, треугольники подобны.

Есть массив треугольников, заданных координатами вершин. Как определить номера треугольников, подобных первому?

Есть ещё такое преобразование подобия, как "зеркальная гомотетия". Оно ориентацию не сохраняет.

Есть массив треугольников, заданных координатами вершин. Как определить номера треугольников, подобных первому?

В математическом смысле он как раз подобный. Все расстояния изменились в одно и то же число раз, значит, свойство преобразования подобия сохраняется. А про ориентацию там ничего не сказано.

Как составить программу "Расставить знаки арифметических операций и скобки чтобы выполнялось равенство"?

То, что написано - общее количество выражений со сложением или вычитанием на верхнем уровне. Если считать вообще все выражения, их будет вдвое больше (плюс 1 - на n-значное число), но для поиска тождеств произведения и частные не очень пригодны.
Например, 16 выражений из 123 - это такие:
12+3, 12-3, 1+23, 1-23, 1+2+3, 1+2-3, 1-2+3, 1-2-3,
1*2+3, 1/2+3, 1*2-3, 1/2-3, 1+2*3, 1+2/3, 1-2*3, 1-2/3.
К ним можно добавить "двойственные" (12*3, 12/3,... ,1/(2-3)) и само 123.

Как составить программу "Расставить знаки арифметических операций и скобки чтобы выполнялось равенство"?

Нет, всё несколько лучше. Надо только заметить, что из любой цепочки сложений и вычитаний мы можем убрать все скобки, оставив между знаками операций только мультипликативные термы. Например, a-(b-c) преобразуется в a-b+c. И наоборот - a/(b/c) преобразуется в a/b*c (a,b,c - аддитивные термы). Так что для определения числа комбинаций F(N) для N-значного числа можно рассмотреть все его разбиения на более чем одну группу (их 2^(N-1)-1), для каждого такого разбиения посчитать произведение F(n_i) для элементов этого разбиения, умноженное на 2^(k-1) (k - число групп в разбиении). F(N) будет суммой этих произведений.
Смысл F(N) - число комбинаций, в которых на верхнем уровне стоит операция определённого типа (только мультипликативная или только аддитивная).
Выражение A=B можно записать как A-B=0, то есть для поиска тождеств надо перебрать F(N) комбинаций, аддитивных на верхнем уровне. Некоторые из них будут иметь вид A+B+C+...=0 - им соответствуют тождества с унарным минусом.
Значение F(N) для небольших N:

F(2)=2
F(3)=16
F(4)=130
F(5)=1152
F(6)=10914
F(7)=108368
F(8)=1113186
F(9)=11731584
F(10)=126133186
F(11)=1378070544
F(12)=15255682754

Перебор можно ещё сократить, если разбивать комбинацию на две части примерно равной длины, и брать для каждой из них список значений - а потом их сравнивать.
(В случае 2-2*1*1*2+2=0 "части примерно равной длины" будут иметь длину 1 и 5).

Алгоритмы 3D сканирования

Какие конкретно две степени свободы? Перемещение вверх-вниз и вправо-влево? Или вверх-вниз и поворот вокруг оси?
Как будет проходить сканирование? Перемещение платформы и последующее измерение положения точки предмета, попавшей на ось датчика?

Проективное преобразование (поиск относительного положения точки)

Ошибок не видно, обе матрицы работают как надо. Меня, правда, смущает тип аргументов int в функции Convert, тем более, что вернуть 0.5 через int никак нельзя.

Какая сортировка самая быстрая?

Радикс-сортировка дала 1.5 миллисекунды. Но ей нужно гораздо меньше памяти - меньше 4 килобайт (достаточно 2 массивов по 400 элементов).

Компьютер и Кошки. Ревнуют ли Вас кошки к компьютеру?

У нас дети пустили щенка напечатать что-нибудь на ноутбуке. Клавиатуру пришлось менять.

Что такое вселенная?

Насколько я понимаю, там речь не про массу, а про плотность. И что с этой плотностью сейчас происходит (с учетом тёмной материи и тёмной энергии), пока непонятно: похоже, что последние 5-6 миллиардов лет расширение ускоряется, а значит, очень вероятен сценарий «большого разрыва».
В любом случае, при конечной плотности и бесконечном объёме масса будет бесконечной. А бесконечен ли объём — точно не известно.

Что такое вселенная?

Судя по многим обсуждениям, в основном люди институты не заканчивали и рады этому.

Стоит ли переходить с Windows 7 на 8 на рабочем ноутбуке?

А какая модель EliteBook? Я поставил «восьмерку» на 2740. Все хорошо, но в видеодрайвере нет поддержки OpenGL. А новый драйвер, в котором она есть, не идет в сочетании Win8 и этой видеокарты.
В целом, система нравится. Очень быстро загружается (по ощущениям — раз в 5-10 быстрее). Эксплорер удобнее — в Command Prompt в нужной директории можно выйти за два клика. Метро-экраном почти не пользуюсь, но воспринимаю его, как замену кнопки «Пуск» — все программы, которые не хочется держать на десктопе, там есть.
Правую панель использую только для выключения компьютера. Очень редко — для каких-нибудь настроек.

Как оптимизировать алгоритм сортировки файла?

Почему комбинированная сортировка будет работать долго? Она выглядит оптимальной и по времени (N*log(N)) и по числу обращений к диску (K^2, где K — число блоков). Какая из сортировок эффективнее?

Имеет ли решение задача?

Примерно так: (C#, не проверялось):

double Min(double[]a,double[]b){
  int len=a.Length;
  int[] c=new int[len];
  for(int i=0;i<len;i++) c[i]=i;
  Array.Sort(c,(p,q)=>(b[p]*a[q]).CompareTo(a[p]*b[q]));

  double s=0;
  foreach(double p in a) s-=p;
  foreach(int ind in c){
    s+=2*a[ind];
    if(s>=0) return b[ind]/a[ind];
  }
  return 0;
}

Имеет ли решение задача?

Во-первых, именно bi/ai — это те точки, в которых k*ai-bi обращается в 0. Во вторых, да — производная на каждом интервале (а не отрезке!) — константа, и эта функция (кусочно-постоянная) не убывает. И при поиске минимума нам нужно просто найти пару соседних интервалов, на левом из которых производная отрицательна, а на правом — положительна. Производная на интервале (ck,ck+1), где ck=bk/ak, равна -sum(i=1..n, ai)+2*sum(i=1..k,ai) — это нетрудно проверить (предполагается, что ck уже отсортированы), так что эту сумму для всех интервалов можно найти за один просмотр. И сумму модулей разностей в этом алгоритме мы вообще никогда не считаем.