Проще всего открывать новое окно, непосредственно с плеером, которая будет работать фоново.
Иначе — вам необходимо переделать сайт.
В крайне костыльной форме
- Вы можете навесить обработчик на клик по внутренней ссылке.
- Потом сделать fetch по адресу ссылки и получить html.
- Распарсить его и найти нужный вам контейнер с содержимым.
- Заменить контент на текущей странице — загруженным