Очевидно, что ... m<=f(x)<=M | x∈[a;b] откуда следует, что ... Ф непрерывна.
Как же я обожаю доказательства, которые опираются на
очевидные вещи. Приведённое доказательство можно переписать более кратко:
Совершенно очевидно, что интеграл непрерывен, а Ф = интегралу, следовательно не трудно показать, что Ф тоже непрерывна.
В действительности в приведённом доказательстве пропущено одно важное допущение:
f(x) непрерывна на промежутке интегрирования. Непрерывность - это одно из
достаточных условий интегрируемости f. Тогда, следуя логике приведённого доказательства, функция
непрерывна и на промежутке [x;x+h]. Поэтому при замене разности интегралов на площадь прямоугольника
ΔФ=Δx*Δf(Δx) мы опираемся на свойство непрерывности f, определение которой
lim [Δx→0] Δf(Δx) = 0. Из этих двух уравнений получаем
lim [Δx→0] ΔФ=Δx * lim [Δx→0] Δf(Δx) = Δx * 0 = 0.
Возвращаемся на два предложение назад к определению непрерывности:
lim [Δx→0] ΔФ(Δx) = 0 - т. е. полученное уравнение является определением непрерывности ΔФ, ч. т. д.
