Откуда следует этот предел?

Question

[MuffinLover]

откуда вылезает этот предел?

Answer 1

[Wataru]

u ограничена. h стремится к нулю. Поэтому u*h - стремится к нулю.

Answer 2

[Griboks]

Благодаря Lynn «Кофеман» я понял, что очевидно расшифровывается как по свойству ограниченности функции интеграла Римана.

Старый ответ

Очевидно, что ... m<=f(x)<=M | x∈[a;b] откуда следует, что ... Ф непрерывна.

Как же я обожаю доказательства, которые опираются на очевидные вещи. Приведённое доказательство можно переписать более кратко:

Совершенно очевидно, что интеграл непрерывен, а Ф = интегралу, следовательно не трудно показать, что Ф тоже непрерывна.

В действительности в приведённом доказательстве пропущено одно важное допущение: f(x) непрерывна на промежутке интегрирования. Непрерывность - это одно из достаточных условий интегрируемости f. Тогда, следуя логике приведённого доказательства, функция непрерывна и на промежутке [x;x+h]. Поэтому при замене разности интегралов на площадь прямоугольника ΔФ=Δx*Δf(Δx) мы опираемся на свойство непрерывности f, определение которой lim [Δx→0] Δf(Δx) = 0. Из этих двух уравнений получаем lim [Δx→0] ΔФ=Δx * lim [Δx→0] Δf(Δx) = Δx * 0 = 0.
Возвращаемся на два предложение назад к определению непрерывности: lim [Δx→0] ΔФ(Δx) = 0 - т. е. полученное уравнение является определением непрерывности ΔФ, ч. т. д.

Comments

[Lynn «Кофеман»]

Ээ? f не обязана быть непрерывна на [a, b]

[Lynn «Кофеман»]

Тут скорее автор забыл написать что рассматривается интеграл Римана.

[Griboks]

Lynn «Кофеман»,

f не обязана быть непрерывна на [a, b]

тогда с нетерпением жду вашего доказательства.

Например, как тогда быть с функцией f(x) = {x^2 | x<0, 2x+3 | x>=0}, чей интеграл от -1 до 1 равняется 4.3?

[Lynn «Кофеман»]

Доказательство чего?

Тут можно тупо написать функцию и она очевидно непрерывна.

x^3/3, x < 0
x^2+3x, x >= 0

[Lynn «Кофеман»]

A доказательство написано в вопросе

[Griboks]

Lynn «Кофеман»,
доказательство lim [Δx→0] Δf(Δx) = 0

[Lynn «Кофеман»]

Griboks, f(Δx) — это что?

[Griboks]

Lynn «Кофеман», грубо говоря, можно выколоть все "подозрительные" точки из интеграла, и его значение не изменится, но тогда появятся разрывы в Ф, и она уже не будет непрерывной.

[Griboks]

Lynn «Кофеман», я имею ввиду интегрируемую функцию f(t)

[Lynn «Кофеман»]

> грубо говоря, можно выколоть все "подозрительные" точки из интеграла
и получить совсем не ту функцию для которой мы доказываем непрерывность.

Мы не пытаемся доказать что любая функция производная которой даст f будет непрерывной. Мы доказываем непрерывность одной конкретной функции.

[Griboks]

Lynn «Кофеман», понял. Тогда у меня остаётся всего один вопрос. Как доказать пункт ?

[Lynn «Кофеман»]

По теореме о среднем, u это значение f(x'), где x <= x' <= x+h
По свойству интеграла Римана значения f ограничены на отрезке [a, b]. А значит и u тоже.
Предел произведения ограниченной и стремящейся к нулю функций равен нулю.

[Griboks]

Lynn «Кофеман», спасибо, это всё объясняет.