Aetae

1. Всё работает:
2. Лучше писать так:

watch(
  seachCityName,
  (value) => {
    localStorage.setItem("seachNameFromLS", value); 
    // ...
  },
  { immediate: true }
);

3. Оборачивайте код в <code></code>, когда задаёте вопрос. Это нормы приличия.

Правильный ответ вам написал Сергей delphinpro.

А варианты говнокода:
a) фигачить стилям !important;
b) повысить специфичность добавив body перед классом;
c) повысить специфичность добавив классу :not(.hack) (можно n раз, чем больше - тем селектор круче);
...

Подарить сейчас. Серьёзно. Полгода - это много. А iPhone - скоропортящийся товар.

У тебя же там есть оверлей на весь экран, по нему и кликай:
$('.overlay__close').click -> $('.overlay__close, .overlay--active').click

Куки НЕ часть php или js. Куки - это отдельный собственный стандарт, в первую очередь используемый для хранения общего состояния между системами, взаимодействующими через HTTP протокол.
Т.е. их основная задача вообще вне рамок языков программирования.

Просто кладёшь файлы в какую-нить папочку и на неё натравилваешь свой сервер. Сбилженое приложение - это просто статика: html, css и js.

Единственно что, если используется роутинк с history api - надо добавить правило, чтоб реврайтило всё что не api на index.html.
Как это сделать для вашего сервера гуглить по "<имя сервера> spa"

Сделай всё картинкой и не парь мозг. Эта штука же одноразовая судя по всему.
Универсально можно сделать поигравшись с svg фильтрами и масками, но ну его нафиг.

Мужик, ты про css слышал?

Судя по коду из коммента:

<script>
  document.write(
  `<style>
    a[href="${location.search}"] {
      outline: 1px solid #f00;
    }
  </style>`
  );
</script>

Но лучше это делать в php, условно:

<?php
// Создаём блок пагинации
$i = 1; // Создаём переменную и присваиваем ей номер первой страницы
$current = $_GET['page'];
 // Пишем цикл while
while ($i <= $total_pages) {
  // Выводим переменную $i
    echo '<a href="?page=' . $i . '"' . ($i == $current ? ' class="active"': '') . '><button class=pagination_button>
  '.$i.'
  </button></a>'; 
    $i++; // Увеличиваем переменную $i на один
}
?>

Никакие.)
JS про формочки, а не про алгоритмы. Нет тут таких задач просто.

Ещё как вариант svg, при желании можно и просто transform:

header('Location: http://www.example.com/');
exit;