Про Vue Router знаете?) Он по каким-то причинам не подходит для решения этой задачи?
const rotues = [
{
// :user_input = "то что ввел пользователь"
path: '/:user_input',
name: 'UserPage',
component: UserPage
}
]
Внутри компонента UserPage можно обратится к объекту роутера и получить параметр 'user_input' в одном из хуков для того, чтобы сделать запрос на бэк и получить данные о пользователе.
created() {
const user_input = this.$route.params.user_input
this.$api.getUser(user_input)
}