Что это и как это решить?

Question

[OwerFan]

Вроде как это Линейные дифференциальные уравнения второго порядка однородное, но... что делать со свободным членом в правой части? и игрек на икс что с ним делать? т.е. как решать?

Comments

[Николай Чуприк]

Это неоднородное уравнение!

[OwerFan]

Николай Чуприк, ок. а как решать то?

Answer 1

[Николай Чуприк]

Делаем замену функции t = y/x, а также переменной на z = -2x, поколдовав, получаем

zt'' + (2-z)t' - t/2 = -3/2 (где дифференцирование подразумевается по z)

Мы привели уравнение к каноническому виду для вырожденного гипергеометрического уравнения. Благодаря правой части оно неоднородно. Но как вы помните, общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного вырожденного гипергеометрического уравнения смотрите например здесь https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/92.... Разумеется оно даётся через соответствующие специальные функции Ф(...).

Далее надо найти частное решение неоднородного уравнения. Оно подбирается очевидным образом t(z) = 3.

Собираем всё вместе, получаем окончательное решение:
y(x) = C1 * x * Ф( 1/2, 2; -2x ) + C2 * Ф( -1/2, 0; -2x ) + 3x

Подставляйте начальные условия и находите константы интегрирования C1 и C2 уже сами.

Comments

[OwerFan]

А как решить это числено? У меня вот в примере
там замена на две функции идет

[Николай Чуприк]

OwerFan, ну тут элементарная учебная задача. Открывайте учебник и учитесь. Записывайте уравнения в конечных разностях, и вперёд.

Answer 2

[Andy_U]

Воспользуйтесь или Maple, или, возможно, Matematica. Но если от вас еще потребуют объяснить решение, я вам не завидую. Или численно.