Как считать вероятность атаки (ранений) в настольной игре Спартак?

Question

[dollar]

Правила боя там не сложные. Например, у нападающего 5 кубиков атаки, а у обороняющегося 3 кубика защиты. Оба бросают все свои кубики. Затем кубики сортируются по убыванию и сравниваются соответственно. Если значение на кубике больше, чем на соответствующем, то это ранение. Каждый лишний кубик тоже даёт одно ранение, если там значение больше 2.

Пример

Нападающий выкинул: 6 5 4 3 2
Обороняющийся выкинул: 6 4 4
Получается два ранения, потому что 5 > 4, и свободный кубик 3, который больше 2. Но при этом 6 = 6 и 4 = 4, так что по этим позициям атака не прошла. А также значение 2 в свободном кубике не сработало.

И вроде бы всё не так сложно, и я даже посчитал разные случаи: шанс ровно 1 ранения будет 16.60%, шанс ровно 4 ранений - 17.64%, шанс хотя бы 1 ранения - 87.66% и т.д. Но в игру вводится новый фактор - умение, позволяющее атакующему перебросить один из кубиков по своему желанию. Очевидно, что перебрасывать имеет смысл кубик, на котором выпало 1-3. Поэтому действия игрока простые: он берет самый минимальный кубик, и если это 1-3, то перебрасывает.

Но как теперь считать вероятность? Получается, что одно событие превратилось в 6 событий, каждое из которых не равновероятно другим событиям (которые без перебрасывания кубика). То есть если минимальный кубик 1-3, то игрок перебрасывает, а если 4-6, то не перебрасывает. Хотя бы как посчитать, сколько всего вариантов теперь? Раньше это было 6⁸ (т.к. всего 8 кубиков).

spoiler

А чтобы мозги совсем расплавились, оказывается, что значение 3 не всегда нужно перебрасывать. Например, если атакующий выкинул 6 6 6 3 3, то нет смысла перебрасывать, потому что тройки дали по ранению. А если атакующий выкинул 5 4 3 3 3 и оборона 5 4 3, то уже имеет смысл перебросить, потому что из-за сортировки шестёрка на новом кубике даст сразу +3 ранения, пятёрка даст +2 ранения, четвёрка даст +1 ранение, тройка ничего не даст (ничего не изменится), и 1-2 уже -1 ранение, но в целом выгода очевидна.

Answer 1

[longclaps]

Очевидно, что перебрасывать имеет смысл кубик, на котором выпало 1-3.

Вздор.
Если у обороняющегося 6-6-6, перебрасывать смысла нет.
Если у обороняющегося 6-6-5, имеет смысл перебрасывать любой, меньший 6.

Comments

[dollar]

Если у обороняющегося 6-6-5

Смотря что у атакующего. Если у него 6-6-5-4-4, то не выгодно перебрасывать 4-ку, потому что она уже даёт 1 ранение. Если перебросить, то шанс 1/6, что будет ещё +1 ранение, но шанс 2/3, что будет -1 ранение.

В общем случае 4-6 нет смысла перебрасывать, потому что шанс не менее 50%, что выпадет меньше.

1-2 стоит перебрасывать всегда.

А вот 3-ка проблемная.

[longclaps]

dollar, что за пурга? сравниваются три старших кубика атакующего с тремя обороняющегося или?

[dollar]

longclaps, вы не прочитали это:

Каждый лишний кубик тоже даёт одно ранение, если там значение больше 2.

Плюс там пример есть.

[Александр]

longclaps, получается что сравнение идет 5 атакующих с 3 обороняющимися.

[longclaps]

Вот подсчет в лоб без перебрасывания

from itertools import product

cnt = [0] * 6
for dices in product(range(1, 7), repeat=8):
    attack = sorted(dices[:5])
    defence = sorted(dices[5:])
    cnt[sum(a > d for a, d in zip(attack, defence)) 
          + (attack[3] > 2) + (attack[4] > 2)] += 1
for hit, c in enumerate(cnt):
    print(f'{hit}: {c / sum(cnt):6.4f}')

вывод

0: 0.0040
1: 0.0393
2: 0.6119
3: 0.1990
4: 0.1044
5: 0.0413

и где тут

шанс ровно 1 ранения будет 16.60%, шанс ровно 4 ранений - 17.64%, шанс хотя бы 1 ранения - 87.66%

[dollar]

longclaps, не знаю, что-то у вас не сходится. Видимо, вы не в том порядке сортируете.

Например, когда вы доходите до
[1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1]
то внезапно оказывается, что двойка в конце. В первых трех позициях a > d не срабатывает, и (attack[4] > 2) тоже не срабатывает, конечно же.
Нужно сортировать массивы в другом порядке:
[2, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1]
Тогда выяснится, что 2 > 1

[longclaps]

dollar, да, не в том порядке.

from itertools import product

cnt1 = [0] * 6  # число ранений при простом ходе
cnt2 = [0] * 6  # число ранений с переходом
minor = [0] * 7  # счетчик младших фишек атакующнго
rerun = [0] * 7  # счетчик случаев, когда переходить выгодно

for defence in product(range(1, 7), repeat=3):
    defence = sorted(defence, reverse=True)
    for attack in product(range(1, 7), repeat=5):
        attack = sorted(attack, reverse=True)
        minor[attack[4]] += 1
        hit1 = sum(a > d for a, d in zip(attack, defence)) \
               + (attack[3] > 2) + (attack[4] > 2)
        cnt1[hit1] += 1
        # проверим, есть ли смысл переходить
        hit2, hitsum = [0] * 6, 0
        for d in range(1, 7):
            reattack = attack[:]
            reattack[4] = d
            reattack.sort(reverse=True)
            h = sum(a > d for a, d in zip(reattack, defence)) \
                + (reattack[3] > 2) + (reattack[4] > 2)
            hit2[h] += 1
            hitsum += h
        if hitsum > hit1 * 6:
            for i, h in enumerate(hit2):
                cnt2[i] += h
            rerun[attack[4]] += 1
        else:
            cnt2[hit1] += 6
print('количество ранений, доля без перехода, доля с переходом')
for hit, c1, c2 in zip(range(6), cnt1, cnt2):
    print(f'{hit}: {c1 / sum(cnt1):6.4f}  {c2 / sum(cnt2):6.4f}')
print('доля переходов в зависимости от младшего кубика')
for d in range(1, 7):
    print(f'{d}: {rerun[d] / minor[d]:6.4f}')

результат выглядит сомнительно, но он верен:

количество ранений, доля без перехода, доля с переходом
0: 0.1234  0.0651
1: 0.1660  0.1095
2: 0.2149  0.1718
3: 0.2593  0.2460
4: 0.1764  0.2471
5: 0.0600  0.1606
доля переходов в зависимости от младшего кубика
1: 0.9085
2: 0.9712
3: 0.0431
4: 0.0076
5: 0.0000
6: 0.0000

Оказывается, нет смысла перекидывать при раскладе [2, 2, 2, 1, 1], [1, 1, 1]

[dollar]

longclaps, это круто, спасибо! Осталось осмыслить и понять, как делается перебрасывание. Я так понимаю, вы имитируете процесс оценивания ситуации игроком, и затем его решение уже используете в основном переборе.

[2, 2, 2, 1, 1], [1, 1, 1]

Неожиданно.

4: 0.0076

Ещё более неожиданно.
[6, 5, 4, 4, 4] [6, 5, 4]