В каком случае зазор будет больше?

Question

[Дмитрий]

Здравствуйте. Совсем запутался в элементарной задаче. Суть в чём:
Два шара разного радиуса обтянули по экватору проволокой. В обоих случаях длину проволоки увеличили ровно на 1 метр. В каком случае зазор между поверхностью шара и проволокой будет больше?

Для первого шара длина проволоки 2пr, для второго - 2пR. После увеличения проволки на 1 метр новая длина первой проволоки 2п(r+l), где l - добавочный радиус (зазор), для второго - 2п(R+L), где L - добавочный радиус (зазор). При этом т.к. новая длина проволки отличается от старой всего на 1 метр, получаем:

2пr+1 = 2п(r+l) - для первого шара
2пR+1 = 2п(R+L) - для второго шара

Иначе,
2пr + 1 = 2пr + 2пl => 2пl = 1 для первого
2пR + 1 = 2пR + 2пL => 2пL = 1 для второго.

Получается, что в обоих случаях зазор будет одинаков и не зависит от изначальных радиусов. Покажите, где ошибка?

Comments

[Lynn «Кофеман»]

Нет ошибки. Всё так и будет

[Lynn «Кофеман»]

Поищите «парадокс земли и апельсина»

Answer 1

[Alexej Simakov]

Соотношение радиуса и длины окружности жестко связаны числом "пи".
2π᛫r = C

Прибавив справа единицу, нам нужно прибавить единицу слева, чтобы уравнять стороны;
2π᛫r + 1 = C + 1

Вынесем 2π за скобки:
2π(r+1/2π) = C + 1

Заменим единицу из примера переменной:
2π(r+х/2π) = C + х

Таким образом, увеличение длины окружности на икс, увеличивает радиус окружности на "икс, деленый на 2π".

Comments

[Дмитрий]

На бумаге тоже к этому пришёл, но в голове не укладывается. Поэтому ощущение допущенной ошибки

[Alexej Simakov]

Дмитрий, Согласен, решение противоречит наивной интуиции. Но аналитические методы решения для того и есть, чтобы не полагаться на "ощущения".
Представьте себе, что вы сняли кольцо и растянули его в прямую. Длина каждой половины будет π᛫r.
Теперь вставьте туда еще метр шнура, каждая половина увеличилась на пол метра. Неважно какой длины до этого был шнур. Этот дополнительный кусок шнура будет при любой изначальной длине шнура давать зазор определенный своей длиной. Этот дополнительный кусок ведь охватывает площадь, которая зависит только от его длины.
Представьте себе что мы пережмем кольцо так чтобы отделить старое кольцо и дополнительную длину.
Мы в любом случае получим дополнительную площадь определенную длиной дополнительного участка:

Как мы распределим эту площадь - в форме круга или полумесяцем - неважно, дополнительная площадь будет одинаковая и зависить только от длины добавленного шнура.

[jcmvbkbc]

Этот дополнительный кусок ведь охватывает площадь, которая зависит только от его длины.
Как мы распределим эту площадь - в форме круга или полумесяцем - неважно, дополнительная площадь будет одинаковая и зависить только от длины добавленного шнура.

Alexej Simakov, это неверно. Площадь квадратично зависит от длины окружности, в отличие от радиуса. Площадь двух маленьких кругов будет меньше площади одного круга, окружность которого вдвое больше.

[Alexej Simakov]

jcmvbkbc, верно, тут я ошибся. Ведь не зря делали круглостенные жилища - круг дает максимальную площадь при фиксированных затратах материала.