Можно поочерёдно менять z-index, проставив карточкам индексы 10, 20, 30 и так далее, а активной карточке ставить большой z-index, чтобы она перекрывала остальные.
Не совсем понятно как это должно выглядеть. Именно так как на рисунке или ты имел ввиду, что под карточкой находятся другие и первая должна каким-то (каким?) образом исчезать, вставая в конец колоды?
Первая карточка исчезает, на её место "съезжают" остальные и сзади появляется наша "первая карточка"? Важно понять поведение элементов при работе слайдера.