Как применяется импликация в программировании?

Question

[Олег Петров]

Можете привести простейший пример импликации на Python или в псевдокоде, но с реальными числами, а не абстрактный?
Вот пример из wiki, я его не понимаю.

if 2 < 4: - #Это 0 для условия A
    if 3 < 5: #Это 0 для условия B

Что тогда будет следованием? Какой код будет являться импликацией со значением 0 и 1?

Вот я написал такой код:

if (a and b) or not a:
    print('Yeeea')

Тут все понятно, что импликация будет верна, если :
A = False
A = True and B = True
в остальном случае не верна.

Или вот тоже код реализующий импликацию

def implies(a,b):
    if a:
        return b
    else:
        return True

Только вопрос был в том, как именно тот же Python использует импликацию в работе операторов if?
Ведь конструкция вложенных if будет верна, только в случае, когда оба условия верны, если первый if(который A) = False, то программа никогда не дойдет до условия B.

Answer 1

[Сергей Соколов]

wiki смотрели?

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программы:

if ( выражение A ) {
    if ( выражение B ) {
       сделать_что-то_полезное
    }
       else {
       <font color=Red>сбой</font>
    };
 }

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A→B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

if ( выражение A ) and ( выражение B ) {
    сделать_что-то_полезное
 }

При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) проверка идет до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить еще один условный оператор.

//выражение A - ложно
 if ( выражение A ) {
    //Дальше проверка не идет
    ... if ( выражение B ) {
       сделать_что-то_полезное
    } ...
 }

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

Comments

[Олег Петров]

Да, но вот первый пример.
Допустим, что A -ложно, то при любом B мы перейдем в блок else,
а в импликации если A = 0 и B = 1 --> результат = 1
Как это понимать?

[Сергей Соколов]

Олег Петров,

при любом B мы перейдем в блок else

– не верно. Вложенность блоков видите – if ( A ) { ... } содержит внутри себя целиком if (B) .. else Для ложного A блок else отсутствует.

Можно было бы дописать его:

if ( выражение A ) {
    if ( выражение B ) {
       сделать_что-то_полезное
    } else {
       <font color=Red>сбой</font>
    };
 } else {
    <font color=Red>сбой A</font>
 }

[Олег Петров]

Сергей Соколов, А можно пояснить как соотнести где в данном примере нолики и где единички, а то так мне непонятно?
Вот как я рассуждаю.

if 2 < 4: - #Это 0 для условия A
    if 3 < 5: #Это 0 для условия B

Вопрос: Что тогда будет следованием? Какой код будет являться импликацией со значением 0 и 1?

[Олег Петров]

if ( выражение A ) {
if ( выражение B ) {
сделать_что-то_полезное
}
else {
сбой
};
}
будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A→B

Но на практике она не выполняется успешно, когда A =False and B = False, а при A =False and B = False -импликация верна.
Конструкция вложенных if будет верна, только в случае, когда оба условия верны, если первый if = False, то программа никогда не дойдет до условия B.

[Сергей Соколов]

Олег Петров, попытаться записть два условия через imply можно так: 2 < 4 это 1 для условия А, 3 < 5 это 1 для условия B и «что-то полезное» делается в случае «не больше» 1 и 1.

В программировании чаще используется не импликация а «логическое И», дающее истинность в единственном из четырёх случае истинности обоих условий. Т.е. матрица истинности выглядит немного иначе, но с таким же количеством исходов:

A  B  результат
0  0  0
1  0  0
0  1  0
1  1  1

[Сергей Соколов]

Вот, где вы ошибаетесь: 0 - это «ложь», 1 - «правда». 2 < 4 это не 0, а 1. То же с 3 < 5. Imply мог бы быть таким:

def imply(a, b):
    return bool(a) <= bool(b)

imply( 3 < 5, 2 < 4) # True

[Олег Петров]

Сергей Соколов, Да и правда, не знал, что в Python есть такой оператор bool(a) <= bool(b)
1. Интересно а каких задачах он применяется?
2. А что означает запись // True ? В Python он у меня не вывел ошибку, также интересно для чего применяется

[Сергей Соколов]

Олег Петров, все много проще : ) Похоже, вы только начинаете разбираться с языком.
bool(a) <= bool(b) это просто меньше-или-равно же!
bool() – приведение к типу Boolean. Который по сути 1 бит и может быть либо 0 либо 1. Соотв. можно и сравнить два булевых значения:

0 < 1
False < True

0 == 0
False == False

1 > 0
True > False

А два слэша это я неправильно откомментировал, пардон! Надо было после решетки писать комент. Исправил.

Answer 2

[nektopme]

Проблемы понимания импликации алгебры булевой возникают из "объяснений" импликации естественным языком: "если то", "следовательно".

Нет в импликации естественного языка.
Наши языковые интуиции в импликации лишь сбивают с толку.

Это функция, принимающая две переменные (каждая 0 или 1) и возвращающая 0 или 1, в зависимости от своей таблицы истинности.

Мнемоника импликации; 1 -> 0 = 0.

В остальных случаях бинарная/булева функция "импликация" вернёт 1.