Как увеличить высоту повернутого прямоугольника математически (быстрый алгоритм)?

Question

[i_v]

В 2D системе координат существуют 4 точки, определяющие координаты повернутого на неизвестный угол прямоугольника. Необходимо увеличить высоту этого прямоугольника на некий коэффициент scale и получить новые координаты вершин. Посоветуйте пожалуйста как это сделать и сделать, желательно, быстро (с минимумом тригонометрических функций).

A,B,C,D даны - требуется найти A1, B1, C1, D1

Answer 1

[Rsa97]

M_AD = ((x₁ + x₄)/2, (y₁ + y₄)/2)
A' = M_AD + (A - M_AD) * scale
B' = M_AD + (B - M_AD) * scale

Answer 2

[Дмитрий Макаров]

При рисовании повернутых фигур можно применять афинные преобразования. Компьютер умеет это делать быстро.

Например, при рисовании прямоугольника рисуем его неповернутым (стороны паралельны краям экрана), задаем матрицу преобразования (которая определяет смещение, поворот, масштабирование по X и по Y) и вот мы уже имеем нужный нам прямоугольник в нужном месте под нужным углом.

При необходимости сжатия/растяжения можно тривиально сжать/растянуть исходный прямоугольник (неповернутый). Его матрица преобразования останется прежней и сместит/перевернет его в то место, где он был изначально, но уже сжатым/растяженным.

Либо можно соответствующим образом модифицировать матрицу преобразования. Матрица преобразования определяет в том числе и растяжение/сжати по осям.

В .NET в GDI+ есть готовые возможности для работы с афинными преобразованиями:
Матричное представление преобразований
Использование преобразований в управляемом GDI+

P.S.:
Если ваша задача - это лабораторная из цикла: сделал и забыл, то все это городить не имеет смысла.
Но в больших проектах, где много графических элементов повернутых друг относительно друга иерархически связанных, лучше освоить математику афинных преобразований и перестроить в соответствии с ними архитектуру. Проще жить будет.

Comments

[i_v]

Дмитрий, спасибо большое за развернутый ответ! Да, о преимуществе использования матричных преобразований в подобного рода задачах знаю. И редко, но использую соответствующие высокоуровневые библиотеки/возможности платформы, не вдаваясь в математику (вроде matrix.translate(), matrix.rotate() и т.д.). В данном вопросе речь просто изначально шла о повернутом объекте, для которого матрицы преобразования у меня нет и:
- как ее к нему повернутому применить не знаю
- единственная операция, которую к нему в дальнейшем нужно применить, это означенное изменение высоты

Спасибо за ссылки.

[Дмитрий Макаров]

Но ведь мы можем получить матрицу преобразования несмещенного неповернутого прямоугольника в смещенный и повернутый.

Переместим точку пересечение диагоналей прямоугольника в начало координат и повернем так, чтоб стороны стали параллельными сторонам экрана. Координаты углов найдем из длин сторон, которые легко вычисляются по Пифагору.

Затем, если мы обратную матрицу координат получившегося несмещенного неповернутого прямоугольника (например U) умножим на матрицу координат смещенного повернутого (например V), то как раз получим эту матрицу преобразования (например M).

Затем, если мы перемножим матрицу координат несмещенного неповернутого прямоугольника U на матрицу масштабирования (например S) и матрицу преобразования М, то получим матрицу координат смещенного повернутого отмасшабированного прямоугольника (например W).

Все просто =)

Answer 3

[Станислав Макаров]

1) находим середину отрезка AD - среднее арифметическое по x и по y
2) для простоты будем считать середину отрезка началом координат
3) находим k, которое из уравнения прямой y = kx: k = y1/x1
4) решаем систему:
- у = kx
- sqrt(x^2 + y^2) / sqrt(x_1^2 + y_1^2) = scale

Answer 4

[Андрей Буров]

https://en.wikipedia.org/wiki/Scaling_(geometry)

Answer 5

[Роман]

Можно воспользоваться формулой деления отрезка в данном отношении (первая попавшаяся ссылка). Как предложил Станислав Макаров, сначала находим серидину AD, обозначим её через M. Далее, рассматриваем отрезки MA и MD (порядок точек важен), и применяем формулу деления отрезка в отношении lambda < 0 (некоторое отрицательное число, аналог вашего scale). Аналогичную процедуру делаем с BC.

UPD. Точка M, кстати, тоже получается по формуле деления отрезка AD в данном отношении при lambda=1.